广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的模是（ ）A．2B．C．D．2．（5分）M={﹣1，0，1，2}，N={x|x2﹣x≤0}，则M∩N=（ ）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，2}D．{1，2}3．（5分）已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟．则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）A．B．C．D．4．（5分）已知f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（ ）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数5．（5分）如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）第23页共23页,A．9B．18C．20D．356．（5分）下列说法错误的是（ ）A．“x＞0”是“x≥0”的充分不必要条件B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥07．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（ ）A．B．C．1D．8．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A．﹣40B．﹣20C．20D．409．（5分）能使函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）第23页共23页,的图象关于原点对称，且在区间[0，]上为减函数的φ的一个值是（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知t＞1，x=log2t，y=log3t，z=log5t，则（ ）A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z11．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．B．C．8D．412．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围为（ ）A．[﹣2，1]B．[﹣4，1]C．[﹣2，0]D．[﹣4，0] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知||=||=|+|=1，则|﹣|= ．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（﹣）的值是 ．第23页共23页,15．（5分）正项数列{an}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么a1•a3+a2•a4+a3•a5+…+an•an+2= ．16．（5分）在三棱锥V﹣ABC中，面VAC⊥面ABC，VA=AC=2，∠VAC=120°，BA⊥BC则三棱锥V﹣ABC的外接球的表面积是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为acsin2B．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若C=5，3sin2C=5sin2B•sin2A，且BC的中点为D，求△ABD的周长．18．（12分）设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn，an+1，4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，设bn的前n项和为Tn，求证：Tn．19．（12分）某工厂对A、B两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取6次，记录数据如下：A：8.3，8.4，8.4，8.5，8.5，8.9B：7.5，8.2，8.5，8.5，8.8，9.5（注：数值越大表示产品质量越好）（Ⅰ）若要从A、B中选一种型号产品投入生产，从统计学角度考虑，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；第23页共23页,（Ⅱ）若将频率视为概率，对产品A今后的4次检测数据进行预测，记这4次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．20．（12分）如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．已知DE=1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE﹣BCF，如图2．（Ⅰ）若AF⊥BD，证明：DE⊥BE；（Ⅱ）若DE∥CF，CD=，在线段AB上是否存在点P使得CP与平面ACD所成角的正弦值为？并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=aex﹣x，f′（x）是f（x）的导数．（Ⅰ）讨论不等式f′（x）g（x﹣1）＞0的解集；（Ⅱ）当m＞0且a=1时，求f（x）在x∈[﹣m，m]上的最值；并求当f（x）＜e2﹣2在x∈[﹣m，m]恒成立时m的取值范围． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ+=4cosθ+4sinθ．（Ⅰ）当α=时，直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的普通方程；（Ⅱ）已知点P（1，），且曲线C1和C2交于A，B两点，求|PA|•|PB|第23页共23页,的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+3|+|x﹣1|，g（x）=﹣x2+2mx．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）若对任意的x1，x2，f（x1）≥g（x2）恒成立，求m的取值范围． 第23页共23页,广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的模是（ ）A．2B．C．D．【解答】解：由z（1+i）=2，得z=，∴|z|=．故选：C． 2．（5分）M={﹣1，0，1，2}，N={x|x2﹣x≤0}，则M∩N=（ ）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，2}D．{1，2}【解答】解：N={x|x2﹣x≤0}={x|0≤x≤1}，则M∩N={0，1}，故选：B 3．（5分）已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟．则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由于地铁列车每10分钟一班，列车在车站停1分钟，乘客到达站台立即乘上车的概率为P==．故选：A． 第23页共23页,4．（5分）已知f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（ ）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数【解答】解：由得：x∈（﹣10，10），故函数f（x）的定义域为（﹣10，10），关于原点对称，又由f（﹣x）=lg（10﹣x）+lg（10+x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，而f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x）=lg（100﹣x2），y=100﹣x2在（0，10）递减，y=lgx在（0，10）递增，故函数f（x）在（0，10）递减，故选：D． 5．（5分）如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）第23页共23页,A．9B．18C．20D．35【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1i=2v=1×2+2=4i=1v=4×2+1=9i=0v=9×2+0=18i=﹣1跳出循环，输出v的值为18．故选：B． 6．（5分）下列说法错误的是（ ）A．“x＞0”是“x≥0”的充分不必要条件B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【解答】解：A．“x＞0”是“x≥0”的充分不必要条件，正确，故A正确，第23页共23页,B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，C．若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误，D．命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确，故错误的是C，故选：C． 7．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（ ）A．B．C．1D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小为3，即2x+y=3．由，解得，即A（，），此时点A也在直线y=﹣x+b上．即=﹣+b，即b=．故选：A第23页共23页, 8．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A．﹣40B．﹣20C．20D．40【解答】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5故其常数项为﹣22×C53+23C52=40．故选：D． 9．（5分）能使函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称，且在区间[0，]上为减函数的φ的一个值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称，∴函数f（x）是奇函数，满足f（0）=sinφ+cosφ=0，得tanφ=﹣，∴φ=﹣+kπ，k∈Z；又f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）在区间[0，]上是减函数，∴φ+≤2x+θ+≤φ+，令t=2x+φ+，得集合M={t|φ+≤t≤φ+}，且M⊆[+2mπ，+2mπ]第23页共23页,，m∈Z；由此可得：取k=1，m=0；∴φ=，M=[π，]满足题设的两个条件．故选：C． 10．（5分）已知t＞1，x=log2t，y=log3t，z=log5t，则（ ）A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z【解答】解：∵t＞1，∴lgt＞0．又0＜lg2＜lg3＜lg5，∴2x=2＞0，3y=3＞0，5z=＞0，∴=＞1，可得5z＞2x．=＞1．可得2x＞3y．综上可得：3y＜2x＜5z．故选：D． 11．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．B．C．8D．4【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥，底面是腰为2的等腰直角三角形，高为2，该几何体的体积V=，第23页共23页,故选：B 12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围为（ ）A．[﹣2，1]B．[﹣4，1]C．[﹣2，0]D．[﹣4，0]【解答】解：|f（x）|=，画函数|f（x）|的图象，如图所示，、当x＞0时，|f（x）|=ln（x+1）＞0，当x＜0时，|f（x）|=x2﹣4x＞0从图象上看，即要使得直线y=ax都在y=|f（x）|图象的下方，故a≤0，且y=x2﹣4x在x=0处的切线的斜率k≤a．又y'=[x2﹣4x]'=2x﹣4，∴y=x2﹣4x在x=0处的切线的斜率k=﹣4∴﹣4≤a≤0．故选：D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.第23页共23页,13．（5分）已知||=||=|+|=1，则|﹣|= ．【解答】解：根据题意，||=||=|+|=1，则有|+|2=2+2•+2=2+2•=1，解可得：•=﹣，则有|﹣|2=2﹣2•+2=2﹣2•=3，则有|﹣|=；故答案为： 14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（﹣）的值是 ﹣ ．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象，可得A=，==﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+）．∴f（﹣）=，故答案为：﹣． 15．（5分）正项数列{an}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*第23页共23页,），那么a1•a3+a2•a4+a3•a5+…+an•an+2= ．【解答】解：由=（n∈N*），可得a2n+1=an•an+2，∴数列{an}为等比数列，∵a1=1，a2=，∴q=，∴an=，∴an•an+2=•=，∴a1•a3=，a1•a3+a2•a4+a3•a5+…+an•an+2==，故答案为：． 16．（5分）在三棱锥V﹣ABC中，面VAC⊥面ABC，VA=AC=2，∠VAC=120°，BA⊥BC则三棱锥V﹣ABC的外接球的表面积是 16π ．【解答】解：如图，设AC中点为M，VA中点为N，∵面VAC⊥面ABC，BA⊥BC，∴过M作面ABC的垂线，球心O必在该垂线上，连接ON，则ON⊥AV．在Rt△OMA中，AM=1，∠OAM=60°，∴OA=2，即三棱锥V﹣ABC的外接球的半径为2，∴三棱锥V﹣ABC的外接球的表面积S=4πR2=16π．故答案为：16π．第23页共23页, 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为acsin2B．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若C=5，3sin2C=5sin2B•sin2A，且BC的中点为D，求△ABD的周长．【解答】解：（Ⅰ）由△ABC的面积为acsinB=acsin2B．得sinB=2sinBcosB，∵0＜B＜π，∴sinB＞0，故cosB=，∴sinB==；（Ⅱ）由（Ⅰ）和3sin2C=5sin2B•sin2A得16sin2C=25sin2A，由正弦定理得16c2=25a2，∵c=5，∴a=4，BD=a=2，在△ABD中，由余弦定理得：AD2=c2+BD2﹣2c•BD•cosB=25+4﹣2×5×2×=24∴AD=2，∴△ABD的周长为c=BD+AD=7+2． 第23页共23页,18．（12分）设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn，an+1，4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，设bn的前n项和为Tn，求证：Tn．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn，an+1，4成等比数列，∴（an+1）2=4Sn，∴Sn=（an+1）2，当n=1时，a1=（a1+1）2，∴a1=1，当n≥2时，，∴两式相减得，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0又an＞0，∴，∴数列{an}的首项为1，公差为2的等差数列，即an=2n﹣1，证明：（Ⅱ），∴，∴． 19．（12分）某工厂对A、B两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取6次，记录数据如下：A：8.3，8.4，8.4，8.5，8.5，8.9B：7.5，8.2，8.5，8.5，8.8，9.5（注：数值越大表示产品质量越好）第23页共23页,（Ⅰ）若要从A、B中选一种型号产品投入生产，从统计学角度考虑，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；（Ⅱ）若将频率视为概率，对产品A今后的4次检测数据进行预测，记这4次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）A产品的平均数：．B产品的平均数：…（2分）A产品的方差：，B产品的方差：…（4分）因为，两种产品的质量平均水平一样，A产品的质量更稳定，选择A中产品合适．…（6分）（Ⅱ）ξ可能取值为0，1，2，3，4，产品不低于8.5的频率为，将频率视为概率，…（8分）则ξ～B（4，），…（10分）∴ξ的分布列如下：ξ01234P（或者）．…（12分） 第23页共23页,20．（12分）如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．已知DE=1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE﹣BCF，如图2．（Ⅰ）若AF⊥BD，证明：DE⊥BE；（Ⅱ）若DE∥CF，CD=，在线段AB上是否存在点P使得CP与平面ACD所成角的正弦值为？并说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）由已知得四边形ABEF是正方形，且边长为2，在图2中，AF⊥BE，由已知得AF⊥BD，BE∩BD=B，∴AF⊥平面BDE，又DE⊂平面BDE，∴AF⊥DE，又AE⊥DE，AE∩AF=A，∴DE⊥平面ABEF，又BE⊂平面ABEF，∴DE⊥BE，解：（Ⅱ）当P为AB的中点时满足条件．在图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF=E，即AE⊥面DEFC，过E作EG⊥EF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系…（6分）则设平面ACD的一个法向量为，则，得，…（8分）设，则P（2，，0），λ∈（0，+∞），可得第23页共23页,．设CP与平面ACD所成的角为θ，则…（10分），所以P为AB的中点时满足条件．…（12分） 21．（12分）已知函数f（x）=aex﹣x，f′（x）是f（x）的导数．（Ⅰ）讨论不等式f′（x）g（x﹣1）＞0的解集；（Ⅱ）当m＞0且a=1时，求f（x）在x∈[﹣m，m]上的最值；并求当f（x）＜e2﹣2在x∈[﹣m，m]恒成立时m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=aex﹣1…（1分）f'（x）•（x﹣1）=（aex﹣1）（x﹣1）＞0当a≤0时，不等式的解集为{x|x＜1}…（2分）当时，，不等式的解集为…（3分）当时，，不等式的解集为{x|x≠1}…（4分）当时，，不等式的解集为…（5分）（Ⅱ）当a=1时，由f'（x）=ex﹣1=0得x=0，当x∈[﹣m，0]时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，当x∈[0，m]时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；第23页共23页,所以f（x）min=f（0）=1．…（7分）f（x）max是f（﹣m）、f（m）的较大者．f（m）﹣f（﹣m）=em﹣e﹣m﹣2m，令g（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，，…（9分）所以g（x）是增函数，所以当m＞0时，g（m）＞g（0）=0，所以f（m）＞f（﹣m），所以．…（10分）f（x）＜e2﹣2恒成立等价于，由g（x）单调递增以及g（2）=e2﹣2，得0＜m＜2…（12分） 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ+=4cosθ+4sinθ．（Ⅰ）当α=时，直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的普通方程；（Ⅱ）已知点P（1，），且曲线C1和C2交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），∴消去参数t，得：得直线l的直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+cosα=0．曲线C1的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，曲线C的1标准方程：x2=4y．…（4分）∵曲线C2的极坐标方程是ρ+=4cosθ+4sinθ，即ρ2+7=4ρcosθ+4ρsinθ，第23页共23页,∴C2的普通方程为x2+y2+7=4x+4y，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．…（6分）（Ⅱ）方法一：∵C2的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，∴C2是以点E（2，2）为圆心，半径为1的圆，∵，∴P在圆外，过P做圆的切线PH，切线长…（8分）由切割线定理知|PA|•|PB|=|PH|2=4…（10分）方法二：将代入（x﹣2）2+（y﹣2）2=1中，化简得t2﹣2（sinα+2cosα）t+4=0，…8分∴|PA|•|PB|=|t1•t2|=4．…（10分） [选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+3|+|x﹣1|，g（x）=﹣x2+2mx．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）若对任意的x1，x2，f（x1）≥g（x2）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）法一：不等式f（x）＞4，即|x+3|+|x﹣1|＞4．可得，或或…（3分）解得x＜﹣3或x＞1，所以不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．…（5分）法二：|x+3|+|x﹣1|≥|x+3﹣（x﹣1）|=4，…（2分）当且仅当（x+3）（x﹣1）≤0即﹣3≤x≤1时等号成立．…（4分）所以不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．…（5分）（Ⅱ）依题意可知f（x）min＞g（x）max…（6分）由（Ⅰ）知f（x）min=4，g（x）=﹣x2+2mx=﹣（x﹣m）2+m2所以…（8分）由m2＜4的m的取值范围是﹣2＜m＜2…（10分）第23页共23页, 第23页共23页
