广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}．则（∁RA）∩B=（ ）A．{x|x＞﹣1}B．{x|﹣1＜x≤1}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（ ）A．B．C．2D．3．（5分）已知向量=（1，x），=（﹣1，3），若向量2+与向量平行，则x的值为（ ）A．﹣3B．0C．D．﹣4．（5分）在区间[1，4]上随机取一个数x，则事件“log4x≥”发生的概率为（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=﹣45，a4=﹣41，则Sn取得最小值时n的值为（ ）A．23B．24或25C．24D．256．（5分）已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值为（ ）A．5B．6C．8D．97．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（ ）第21页共21页,A．B．﹣1C．﹣1﹣D．08．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，y=g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数f（x）•g（x）的大致图象为（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（ ）第21页共21页,A．12πB．8πC．4πD．3π11．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根，则k的取值范围为（ ）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，2]D．（0，3]12．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β= ．14．（5分）在某班班委会成员选举中，已知张强、李明、王亮三位同学被选进了班委会，该班甲、乙、丙三位学生预言：甲：张强为班长，李明为生活委员；乙：王亮为班长，张强为生活委员；丙：李明为班长，张强为学习委员．班委会名单公布后发现，甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半，则公布的班长为 ．15．（5分）递减的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=3，S3=13，则a5= ．16．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，其中|BF|=3|AF|，则线段AB的长度为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．第21页共21页,17．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=，a=2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．19．（12分）随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司M的市场研究人员为了了解共享自行车的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，得到如下数据：月份代码123456占有率（%）111316152021（Ⅰ）若月份代码x与市场占有率y具有线性相关性，用最小二乘法求得回归方程为=2x+a，求a的值，并预测第7个月的市场占有率；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，M公司的市场占有率有可能进一步提升，为满足市场需求，公司拟在采购一批自行车，现有采购成本分别为300元/辆和400元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆自行车最多可使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的自行车各100辆进行科学模拟测试，得到两款自行车使用寿命频数表如下：使用寿命1年2年3年4年第21页共21页,A款车15403510B款车5354020经测算，平均每辆自行车每年可以带来收入200元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆自行车的使用寿命都是整数年，如果你是M公司的负责人，以每辆自行车产生的平均利润作为决策依据，你会选择采购哪款车型？20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点F（1，0），直线l：x=4，动点P到点F的距离到直线l的距离的比值为．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程C；（Ⅱ）若A1（﹣2，0），A2（2，0），斜率不为0且过F的直线与曲线C相交于M，N两点，求证：直线A1M，A2N的交点在直线l：x=4上．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：当x∈[，+∞）时，f（x）+ax＞g（x）． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围． 第21页共21页,第21页共21页,广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}．则（∁RA）∩B=（ ）A．{x|x＞﹣1}B．{x|﹣1＜x≤1}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，∴∁RA={x|x≤1}，∵B={x|﹣1＜x＜2}，∴（∁RA）∩B={x|﹣1＜x≤1}，故选B． 2．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（ ）A．B．C．2D．【解答】解：由（z﹣1）i=i﹣1，得z==2+i，∴|z|=．故选：D． 3．（5分）已知向量=（1，x），=（﹣1，3），若向量2+与向量平行，则x的值为（ ）A．﹣3B．0C．D．﹣【解答】解：∵向量=（1，x），=（﹣1，3），∴2+=2（1，x）+（﹣1，3）=（1，2x+3）第21页共21页,∵2+与向量平行，∴3=﹣2x﹣3，解得x=﹣3，故选：A 4．（5分）在区间[1，4]上随机取一个数x，则事件“log4x≥”发生的概率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由log4x≥，得x≥2，∴在区间[1，4]上随机取一个数x，事件“log4x≥”发生的概率为P=．故选：B． 5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=﹣45，a4=﹣41，则Sn取得最小值时n的值为（ ）A．23B．24或25C．24D．25【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=﹣45，a4=﹣41，∴，解得a1=﹣47，d=2，∴Sn=﹣47n+=n2﹣48n=（n﹣24）2﹣576．∴Sn取得最小值时n的值为24．故选：C． 6．（5分）已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值为（ ）A．5B．6C．8D．9第21页共21页,【解答】解：由x，y满足不等式组，作出可行域如图，联立，解得A（4，0），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×4+0=8．故选：C． 7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（ ）A．B．﹣1C．﹣1﹣D．0第21页共21页,【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cos+cosπ+…+cos的值，∵y=cos的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×（cos+cosπ+cos+cos2π）+cos=0故选：D 8．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B． 第21页共21页,9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，y=g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数f（x）•g（x）的大致图象为（ ）A．B．C．D．【解答】解：因为函数f（x）=4﹣x2为偶函数，y=g（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）•g（x）为奇函数，图象关于原点对称，所∞以排除A，B．当x→+∞时，g（x）=log2x＞0，f（x）=4﹣x2＜0．所以此时f（x）•g（x）＜0．所以排除C，选D．故选D． 10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（ ）A．12πB．8πC．4πD．3π【解答】解：三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4π×（）2=3π．故选：D． 11．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈第21页共21页,R）恰有三个互不相同的实根，则k的取值范围为（ ）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，2]D．（0，3]【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得，要使关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根，则k∈（0，3），故选：B． 12．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，∵|AB|=2，圆的圆心为（，1），半径为3，∴圆心到渐近线的距离为=，即=，第21页共21页,解得b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e==．故选：A． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β= ﹣ ．【解答】解：∵sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ=，则cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣． 14．（5分）在某班班委会成员选举中，已知张强、李明、王亮三位同学被选进了班委会，该班甲、乙、丙三位学生预言：甲：张强为班长，李明为生活委员；乙：王亮为班长，张强为生活委员；丙：李明为班长，张强为学习委员．班委会名单公布后发现，甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半，则公布的班长为 王亮 ．【解答】解：假设张强为班长，由甲对一半得：李明不为生活委员，即李明是学习委员，则王亮为生活委员；这与乙对一半矛盾；假设王亮为班长，由乙对一半得：张强不为生活委员，即张强是学习委员，则李明为生活委员；甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半，假设李明为班长，由丙对一半得：张强为不学习委员，即张强为生活委员，这与甲对一般矛盾，综上可得：公布的班长为王亮，故答案为：王亮第21页共21页, 15．（5分）递减的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=3，S3=13，则a5= ．【解答】解：由{an}是递减的等比数列，a2=3，S3=13，即a1q=3…①，a1+a2+a3=13，∴．…②由①②解得：q=，a1=9．那么a5=．故答案为：． 16．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，其中|BF|=3|AF|，则线段AB的长度为 ．【解答】解：如图，抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），设l所在直线方程为x=k（y﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得k2y2﹣（2k2+4）y+k2=0，∴y1y2=1，①∵|BF|=3|AF|，∴y2+1=3（y1+1），②由①②解得y1=，y2=3，∴|AB|=y1+y2+2=+3+2=，故答案为：第21页共21页, 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=，a=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．=cos2x+1+sin2x，=2sin（2x+）+1，则函数的最大值f（x）max=3．（Ⅱ）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f（C）=2，则：，解得：C=，由于：c=，a=2，利用余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，解得：b=3（负值舍去）．则：． 18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．第21页共21页,（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的摄影EA，EB，EC满足EA=EB=EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，∴AB=BC=2，DE=2，∴S△FBC==2，∴四面体F﹣DBC的体积VF﹣DBC=VD﹣FBC==． 19．（12分）随着“互联网+第21页共21页,交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司M的市场研究人员为了了解共享自行车的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，得到如下数据：月份代码123456占有率（%）111316152021（Ⅰ）若月份代码x与市场占有率y具有线性相关性，用最小二乘法求得回归方程为=2x+a，求a的值，并预测第7个月的市场占有率；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，M公司的市场占有率有可能进一步提升，为满足市场需求，公司拟在采购一批自行车，现有采购成本分别为300元/辆和400元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆自行车最多可使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的自行车各100辆进行科学模拟测试，得到两款自行车使用寿命频数表如下：使用寿命1年2年3年4年A款车15403510B款车5354020经测算，平均每辆自行车每年可以带来收入200元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆自行车的使用寿命都是整数年，如果你是M公司的负责人，以每辆自行车产生的平均利润作为决策依据，你会选择采购哪款车型？【解答】解：（I）==，==16，把（，16）代入=2x+a得16=7+a，∴a=9．回归方程为=2x+9，当x=7时，=23．∴预测第7个月的市场占有率为23%．（II）A款车的利润为+++=180，B款车的利润为×（200﹣400）+×（400﹣400）+×（600﹣200）+第21页共21页,×（800﹣400）=150．∴采购A款车较合理． 20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点F（1，0），直线l：x=4，动点P到点F的距离到直线l的距离的比值为．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程C；（Ⅱ）若A1（﹣2，0），A2（2，0），斜率不为0且过F的直线与曲线C相交于M，N两点，求证：直线A1M，A2N的交点在直线l：x=4上．【解答】（Ⅰ）解：设P（x，y），P到直线l的距离为d，由题意可得=，即为=，两边平方可得x2+y2﹣2x+1=（x2﹣8x+16），即为3x2+4y2=12，即有+=1，动点P的轨迹方程C为+=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）曲线C为椭圆，A1（﹣2，0），A2（2，0）为椭圆的左右顶点，F（1，0）为椭圆的右焦点，设过F的直线为x=my+1，交点M（x1，y1），N（x2，y2），由消去x可得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，则y1+y2=，y1y2=，由已知可得k=，可得直线A1M：y=（x+2），①第21页共21页,同理可得直线A2N：y=（x﹣2），②联立方程①②，可得x=======4．所以直线A1M，A2N的交点在直线l：x=4上． 21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：当x∈[，+∞）时，f（x）+ax＞g（x）．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xlnx﹣ax+1，的定义域为：x＞0，f′（x）=lnx+1﹣a，由题意可知函数不可能是单调函数，∴f′（x）=0，可得x=ea﹣1，当x＞ea﹣1时，f′（x）＞0；x∈（0，ea﹣1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在[，e]上有两个零点，可得：，解得：1．函数f（x）在[，e]上有两个零点，a的取值范围：（1，1+]；第21页共21页,（Ⅱ）证明：当x∈[，+∞）时，要证f（x）+ax＞g（x）．只要证明xlnx+1＞g（x），先证明xlnx+1≥x，构造函数F（x）=xlnx+1﹣x，∵F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，当x=1时，F′（x）=0，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，函数是减函数当x＞1时，F′（x）＞0，函数是增函数；∴F（x）＞F（1）=0，即证xlnx+1≥x，等号成立的条件是当且仅当x=1；再证当x∈[），g（x）≤x．构造函数G（x）=x﹣g（x）=2（x﹣）3．∵G′（x）=6（x﹣）2≥0，∴G（x）是增函数，∴G（x）≥G（）=0，即证g（x）≤x，等号成立的条件是当且仅当x=．∴x∈[，+∞）时，f（x）+ax＞g（x）． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．第21页共21页,（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≤2恒成立，﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≤2，解得：﹣2≤x＜3，x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≤2，无解，综上，f（x）≤2的解集是{x|x≥﹣2}；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥﹣x2﹣2x+8恒成立，即m≥﹣（x+1）2+9，故m≥9． 第21页共21页
