广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（ ）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（ ）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0B．1C．2D．33．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（ ）A．﹣15B．15C．﹣20D．204．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（ ）A．2﹣B．﹣C．+D．2+5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（ ）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（ ）第22页共22页,A．B．﹣1C．0D．17．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）已知a=log52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（ ）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（ ）A．6B．3C．2D．1第22页共22页,10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（ ）A．4πB．3πC．8πD．12π11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（ ）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β= ．14．（5分）4名同学去参加3个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有 种结果．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=ex，f′（3）+f（3）= ．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF的面积为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0且满足an=2Sn﹣﹣（n∈第22页共22页,N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）第22页共22页,（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围． 第22页共22页,广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（ ）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}={x∈Z|﹣＜x＜}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}，故选：B． 2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（ ）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵z=1﹣i，∴|z|=，故①正确；，故②正确；z的虚部为﹣1，故③错误．∴正确命题的个数为2个．故选：C． 3．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（ ）A．﹣15B．15C．﹣20D．20第22页共22页,【解答】解：向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），若⊥，则•=（1﹣x）+2（x+1）=x+3=0，解可得x=﹣3，则=（1，﹣2），=（4，2），（+）=（5，0），（﹣）=（﹣3，﹣4）； 则（+）（﹣）=﹣15；故选：A． 4．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（ ）A．2﹣B．﹣C．+D．2+【解答】解：已知tanA=，由于：0＜A＜π，解得：A=，利用余弦定理：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA，解得：AB=（负值舍去）．故选：C． 5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：绳子的长度为6m，折成两段后，设其中一段长度为x，则另一段长度6﹣x，记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A，则A={x|}={x|0＜x＜2或4＜x≤6}，第22页共22页,∴P（A）=，故选：B． 6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（ ）A．B．﹣1C．0D．1【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cos+cosπ+…+cos的值，∵y=cos的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×（cos+cosπ+cos+cos2π）+cos=0故选：C 7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）第22页共22页,A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B． 8．（5分）已知a=log52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（ ）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a【解答】解：∵c=log3=log53＞log73，b=log73＞=，a=log52＜=，则a，b，c的大小关系为：a＜b＜c．故选：A． 9．（5分）已知P（x，y）为平面区域第22页共22页,内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（ ）A．6B．3C．2D．1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，a），D（a，a），B（a+1，a+1），C（a+1，﹣a﹣1）由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．∴A（1，1），C（2，﹣2）化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过C点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A． 10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（ ）A．4πB．3πC．8πD．12π【解答】解：三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，第22页共22页,外接球的表面积为：4π×（）2=3π．故选：B． 11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，∵|AB|=2，圆的圆心为（，1），半径为3，∴圆心到渐近线的距离为=，即=，解得b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e==．故选：A． 12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（ ）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，第22页共22页,其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β= ﹣ ．【解答】解：∵sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ=，则cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣． 14．（5分）4名同学去参加3个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有 54 种结果．【解答】解：根据题意，先计算4名同学去参加3个不同的社团组织的情况数目，4个同学中每人可以在3个不同的社团组织任选1个，即每人有3种不同的选法，则4人有3×3×3×3=81种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，第22页共22页,若甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有3种情况，剩下的2人每人有3种不同的选法，则剩下的2人有3×3=9种情况，则甲乙参加同一个社团组织的情况有3×9=27种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有81﹣27=54种；故答案为：54． 15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=ex，f′（3）+f（3）= 0 ．【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≤2时，f（x）=ex，f′（x）=ex，∴f（3）=f（1）=e，f′（3）=﹣f′（1）=﹣e，故f′（3）+f（3）=0，故答案为：0． 16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF的面积为 3 ．【解答】解：如图，抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设l所在直线方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1x2=1，①∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），②由①②解得x2=，x1=2，或x1=﹣1，x2=﹣1（舍去）第22页共22页,∴y1=2，y2=﹣，∴|CD|=y1﹣y2=3，∵|FG|=1+1=2，∴S△CDF=×|CD|×|FG|=×3×2=3，故答案为：3 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0且满足an=2Sn﹣﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，解得a1=1；由an=2Sn﹣﹣，整理得，①∴，②②﹣①得：，第22页共22页,∴（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0，∵an＞0，∴an+1﹣an﹣2=0，即an﹣1﹣an=2．∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）=，③，④③﹣④得：==．∴． 18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，∴AB⊥DE，又∵F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DF∩DE=E，且DF、DE⊂平面DEF，第22页共22页,又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF；解：（Ⅱ）∵DE⊥平面ABC，∴AC⊥DE，又∵DA=DC，∴E为AC中点，∵F是AB中点，∴EF∥BC，由（Ⅰ）知AB⊥EF，∴AB⊥BC，又∵∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，AC=4，∴AB=BC=DA=DB=DC=2，取BD中点G，连结AG、CG，则AG⊥DB，CG⊥DB，∴∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在△AGC中，cos∠AGC==﹣，∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为﹣． 19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，第22页共22页,（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）∵前四组频数成等差数列，∴所对应的频率也成等差数列，设a=0.2+d，b=0.2+2d，c=0.2+3d，∴0.5（a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1）=1，解得d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5．居民月用水量介于2～2.5的频率为0.25．居民月用水量介于2～2.5的频数为0.25×100=25人．（Ⅱ）由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为ω=2.5+≈2.83立方米．（Ⅲ）将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知：P（A≤2.5）=0.7，由题意X～B（3，0.7），P（X=0）==0.027，P（X=1）==0.189，P（X=2）==0.441，第22页共22页,P（X=3）==0.343．∴X的分布列为：X0123P0.0270.1890.4410.343∵X～B（3，0.7），∴E（X）=np=2.1． 20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点，离心率等于，∴设椭圆方程为，根据题意得：，解得：所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|由，得，∴==﹣（﹣2）2+1，∴时，（）max=1，第22页共22页,∴Smax=4×1=4，此时r2==．即r=． 21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx﹣ax+1=0，得：a=lnx+，问题转化为a=lnx+在[，e]上有2个不同的解，令h（x）=lnx+，x∈[，e]，则h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，而h（1）=1，h（）=e﹣1，h（e）=1+＜e﹣1，故a的范围是（1，1+）；（Ⅱ）要证f（x）+ax≥g（x），只要证明xlnx+1≥g（x），先证xlnx+1≥x，构造函数F（x）=xlnx+1﹣x，∵F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，x=1时，F′（x）=0，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0，故F（x）在[0，1]递减，在[1，+∞）递增，故F（x）≥F（1）=0，即证xlnx+1≥x，等号成立当且仅当x=1，再证明x∈[，+∞）时，g（x）≤x，构造函数G（x）=x﹣g（x）=2，∵G′（x）=6≥0，∴G（x）在[，+∞）递增，第22页共22页,∴G（x）≥G（）=0，即证明g（x）≤x，等号成立当且仅当x=，故x∈（0，）时，构造函数φ（x）=f（x）+ax=xlnx+1，∵φ′（x）=1+lnx，∴x=时，φ′（x）=0，当0＜x＜时，φ′（x）＜0，当＜x＜时，φ′（x）＞0，即φ（x）在（0，）递减，在（，）递增，∴x∈（0，）时，φ（x）≥φ（）=1﹣，∵g′（x）=﹣6+1，x∈（0，）时，﹣＜g′（x）＜1，又g′（0）=﹣＜0，g′（）=1＞0，存在x0∈（0，），使得g′（x0）=0，且g（x）在（0，x0）递减，在（x0，）递增，故x∈（0，）时，g（x）＜max{g（0），g（）}=，∴g（x）＜＜1﹣≤φ（x），综上，对任意x＞0，f（x）+ax＞g（x）． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．第22页共22页,即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≤2恒成立，﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≤2，解得：﹣2≤x＜3，x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≤2，无解，综上，f（x）≤2的解集是{x|x≥﹣2}；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥﹣x2﹣2x+8恒成立，第22页共22页,即m≥﹣（x+1）2+9，故m≥9． 第22页共22页
