磁场的性质及带电粒子在磁场中运动一、选择题（第1～6题为单选题，第7～10题为多选题）1．如图所示，在真空中，水平导线中有恒定电流I通过，导线的正下方有一束电子初速度方向与电流方向相同，不计电子重力，则下列说法正确的是（ ）A．电流上方的磁场方向垂直纸面向外B．电子受到的洛伦兹力将改变电子的速度大小C．电子将沿路径a运动D．电子将沿路径b运动【答案】D【解析】由安培定则可知，电流上方的磁场方向垂直纸面向里，A错误；电子受到的洛伦兹力与电子速度方向垂直，所以不会改变电子的速度大小，B错误；由左手定则可知，电子受到洛伦兹力向下，电子将沿路径b运动，C错误，D正确。2．如图所示，匀强磁场磁感应强度大小为1T，方向水平向右，一根通电直导线垂直于匀强磁场放置，导线截面是正六边形的中心O，正六边形在纸面内且ad连线与磁感线垂直，已知a点的实际磁感应强度为零，则下列叙述正确的是（ ）A．直导线中的电流方向垂直纸面向外B．b点的实际磁感应强度方向指向中心OC．c点的实际磁感应强度大小为TD．c点的实际磁感应强度跟f点的相同【答案】C【解析】a点的实际磁感应强度为零，可知直导线在a点的磁场方向向左，大小为1T，由安培定则可知直导线中的电流方向垂直纸面向里，A错误；直导线在b点产生的磁场大小为1T，方向与B的反方向成60°角，则b点的实际磁感应强度方向与B正向成60°角，不是指向中心O，B错误；直导线在c点的磁场方向垂直Oc斜向右上方向，与水平成60°角，大小为1T，则c点的实际磁感应强度大小，C正确；直导线在c点的磁感应强度跟f点的等大反向，则与磁场B合成后合实际磁场大小和方向都不相同，D错误。3．四根等高、相互平行的水平长直导线有大小相等且方向相同的电流I1、I2、I3、I4，其中相邻两根导线间距均相等，a、b、c三点连线与导线等高并垂直于导线，c点位于四根导线间中点，d、e分别位于a、b两点的正下方，且ad＝ac＝bc＝be，则下列说法正确的是（ ）11
A．c点的磁感应强度方向竖直向上B．c点的磁感应强度方向竖直向下C．d点与e点的磁感应强度相同D．任意两导线间相互吸引【答案】D【解析】根据安培定则知电流I2和I3分别在c点产生的磁感应强度大小相等、方向相反，电流I1和I4分别在c点产生的磁感应强度大小相等、方向相反，所以c点的磁感应强度为零，故AB错误；根据安培定则知I1在d点和I4在e点的磁感应强度相同，I1、I2、I3在e点和I4、I3、I2在d点的磁感应强度大小相同，方向相反，故d点与e点的磁感应强度不同，故C错误；由于四根导线的电流方向相同，根据安培定则和左手定则可知，任意两导线间相互吸引，故D正确。4．如图所示、通有向左的恒定电流的长直导线水平固定放置，绝缘细线一端系于导线上的O点，另一端系一个带负电小球，细线拉直。第一次让小球在A点由静止释放，让小球绕O点沿圆1在竖直面内做圆周运动；第二次让小球在B点由静止释放，让小球绕O点沿圆2在竖直面内做圆周运动。圆1与导线垂直。圆2与直导线在同一竖直面内，小球分别沿圆1、圆2首次运动到最低点C时细线的张力相等，忽略小球运动过程中空气阻力的影响。下列关于A、B两点高度的判断正确的是（ ）A．A点更高B．B点更高C．高度相同D．无法确定【答案】A【解析】设两次实验中细线的张力大小均为T，小球在轨道1运动至最低点C时的速度大小为v1，根据牛顿第二定律有；根据安培定则可知恒定电流在C点处产生磁场的磁感应强度垂直纸面向外，根据左手定则可知小球在轨道2运动至最低点C时所受洛伦兹力方向竖直向下，设此时小球速度大小为v2，根据牛顿第二定律有；比较上述两式可知，由于洛伦兹力不做功，所以小球两次运动过程中机械能均守恒，根据，可知A点更高，故选A。5．如图所示，在边长为L的正方形ABCD区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，一带电粒子（重力不计）以速度v从A点沿AB边方向射入磁场，恰好从BC边的中点F射出，已知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，以下说法正确的是（ ）A．该粒子一定带负电11
B．该粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为LC．若粒子的速度大小为2v，方向不变，粒子将从CD边的中点E射出D．若粒子的速度大小为2v，方向不变，粒子做圆周运动的周期变为【答案】B【解析】粒子向右偏转，根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；设该粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，根据几何关系有，解得，故B正确；根据牛顿第二定律有，解得，若粒子的速度大小为2v，方向不变，则粒子运动半径变为2R，将从B、F之间射出，故C错误；粒子做圆周运动的周期，若粒子的速度大小为2v，方向不变，粒子做圆周运动的周期不变，故D错误。6．如图所示，在一个正三角形区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，速度大小均为v的α粒子从BC边的中点O处沿各个方向射入磁场，若已知粒子的质量为m，电荷量为q，正三角形边长为L，粒子运动的轨道半径为L，不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用，则（ ）A．该磁场的磁感应强度为B．该磁场的磁感应强度为C．粒子在磁场中运动的最长时间为D．粒子在磁场中运动的最长时间为【答案】B【解析】根据牛顿第二定律，解得，故A错误，B正确；粒子轨迹如图所示，由图可知，粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹与边相切，若粒子能过A点，在磁场中运动时间才为，故CD错11
误。7．科学家可以利用磁场对带电粒子的运动进行有效控制。如图所示，圆心为O、半径为r的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。P是圆外一点，OP＝3r。一质量为m，电荷量为q(q＞0)的粒子从P点在纸面内沿着与PO成θ＝60°角的方向射出，不计粒子重力。若要求粒子不能进入圆形区域，则粒子运动速度可以为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】若速度较小，粒子的轨迹圆如图甲所示，由几何关系可知在中，，。若速度较大，粒子的轨迹圆如图乙所示，根据几何关系可知在中，，，由洛伦兹力提供向心力可知，，则可知，，综上若要求粒子不能进入圆形区域，则粒子运动速度应满足的条件为或，故选D。8．如图所示，以水平直线为分界线，上方区域充满垂直于纸面向里的匀强磁场，大量电子（质量为m、电荷量为e，重力不计）从长度为L的PQ区域以相同速度与水平方向成θ＝60°的角度斜射入磁场，已知电子的速度大小为v0，上方磁场的磁感应强度。所有从上方磁场射出的电子再次经过水平分界线下方某一半圆形区域的匀强磁场（图中未画出）偏转后都能通过磁场边界的一个点处被收集。下列说法正确的是（ ）11
A．水平分界线上电子射出区域的长度为LB．若减小上方磁场的磁感应强度，电子射出区域的长度将保持不变C．欲使水平分界线上电子的出射与入射区域不重叠，则上方磁场的磁感应强度应小于D．下方收集电子的半圆形区域匀强磁场的最大磁感应强度为【答案】BCD【解析】所有电子运动轨迹相同，水平分界线上电子射出区域的长度为L，A错误；改变上方磁场的磁感应强度，电子运动轨迹改变但所有电子运动轨迹依然相同，电子射出区域的长度将保持不变，B正确；从P点入射的电子应到达Q点右侧，即偏转对应的最小弦长为L，则，，C正确；出射电子束的宽度（平行线间的距离）为，只要满足电子轨迹半径等于磁场区域圆的半径就可以实现收集（会聚）。设想以较大的磁场区域圆实现会聚，不断缩小磁场区域圆直至以出射电子束的宽度为半径对应最小的半圆形磁场区域，如图所示，可以是区域1、2组成的半圆，也可以是区域1、3组成的半圆，最小半径与最大的磁感应强度相对应，D正确。9．如图所示，半径为R的半圆形粒子接收屏ABC竖直放置，AB为水平直径，O为圆心，OC连线与竖直方向的夹角α＝37°。一质量为m、电荷量绝对值为q的带电粒子自A点沿AB方向以初速度v0射入。当接收屏处于竖直向上的匀强电场中时，粒子恰能击中屏上的C点；当接收屏处于垂直纸面方向的匀强磁场中时，粒子也恰能击中屏上的C点。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）A．粒子带正电，匀强磁场的方向垂直于纸面向外B．匀强电场的电场强度大小为11
C．匀强磁场的磁感应强度大小为D．粒子在匀强电场和匀强磁场中运动的时间之比为144∶53【答案】BC【解析】当接收屏处于竖直向上的匀强电场中时，粒子恰能击中屏上的C点，得出粒子带负电，接收屏处于垂直纸面方向的匀强磁场中时，粒子也恰能击中屏上的C点，根据左手定则，磁场方向应垂直于纸面向里，A错误；当施加电场时，水平方向，竖直方向，解得，B正确；当施加磁场时，如图，由几何关系有，解得，由，得，C正确；由可知，粒子在电场中的运动时间，由，得，D错误。10．如图所示，半径R＝2cm的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B＝2T，一个带正电粒子从圆形磁场边界上的A点以v0＝8×104m/s的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且∠AON＝120°。下列选项正确的是（ ）A．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1cmB．带电粒子的比荷为2×106C/kgC．带电粒子在磁场中运动的轨迹圆心一定在圆形磁场的边界上D．若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出【答案】BCD【解析】如图甲所示，由几何关系得带电粒子做圆周运动的轨迹半径r＝R＝2cm，且带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上，故A错误，C正确；对带电粒子由牛顿第二定律得，解得，故B正确；若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，假设出射点位置在N′点，圆心在O′点，如图所示，根据几何关系可得CON′O′为菱形，则CO′∥ON′，N′和N重合，故粒子从N点射出，故D正确。11
11．在光滑绝缘水平桌面上有三个质量均为m的小球A、C、D，其中只有A球带电，带电荷量为－q，其余的球均不带电。三个小球的初始位置分别位于如图所示的a、c、d三处，它们构成一个直角三角形，A、C相距2L，∠acd＝60°，∠adc＝90°。水平桌面上存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现给A球一个沿水平方向的初速度，使其在磁场中运动，之后依次与C、D两球发生碰撞，假设碰撞时间很短，每次碰后都结合在一起，则（ ）A．A球的初速度方向与cd边垂直B．三个小球碰后，仍能回到a点C．小球从a点到c点的时间与从c点到d点的时间之比为3∶1D．A、C、D三个小球结合到一起后速度的大小为【答案】BD【解析】由题意可得，A球先到c点，与C结合，再到d点与D结合，A、C、D三个小球的碰撞，满足动量守恒定律，则有，由，可得A小球在磁场中运动的轨迹半径，A、C两小球结合在一起后，在磁场中运动的轨迹半径，A、C、D三个小球结合在一起后，在磁场中运动的轨迹半径，故，由几何关系可得，可知A球的初速度垂直于ac边，故A错误；由A选项的分析知，小球在磁场中的运动轨迹构成直角三角形的外接圆，则三球碰后仍能回到a点，故B正确；A小球做圆周运动的周期，从a点到c点的运动时间，C两小球结合在一起后做圆周运动的周期，从c点到d点的运动时间，则小球从a点到c点的时间与从c点到d点的时间之比，故C错误；因，且r3＝L，故，故D正确。12．如图所示，某同学为探究带电粒子“约束”问题。构想了向里的匀强磁场区域，磁感应强度为B，边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的点，且OP＝PA。若有一粒子源垂直磁场方向在纸面内的360°发射出比荷为的带负电粒子，速度连续分布且无相互作用，不计其重力，sin37°＝0.6。对粒子源的位置和被约束相关量的说法正确的是（ ）A．在A时，被磁场约束的粒子速度最大值为11
B．在O时，被磁场约束的粒子速度最大值为C．在O时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间最大值为D．在P时，被磁场约束的粒子速度最大值为【答案】ACD【解析】粒子最大运动半径，由运动半径，解得，故A正确；设粒子运动半径为，如图甲所示，在中，则，得，则，由，解得，故C正确，B错误；如图乙所示，在中，，，，得，由运动半径，解得，故D正确。二、非选择题（解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。）13．如图所示，间距为L的导轨竖直固定在绝缘地面上，导轨顶端连接电动势为E的电源，质量为m、电阻为R的金属杆垂直接触导轨，竖直向上的拉力F作用在金属杆的中点，当在导轨所在的平面内加上与金属杆成α角、磁感应强度为B的匀强磁场后，金属杆沿着导轨恰好不向上运动，电源两端的电压为U，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨和导线的电阻，求：(1)电源的内阻和电源的功率；(2)金属杆与导轨间的动摩擦因数。【解析】(1)设电源内阻为r，由闭合电路欧姆定律可得回路的电流由欧姆定律则电源的功率P＝IE联立解得，。(2)将磁感应强度B分别沿水平向右和竖直向下分解，B在竖直向下的分量为11
B在水平向右的分量与金属杆平行，对金属杆没有安培力作用，根据左手定则，B在竖直向下的分量对金属杆的安培力，垂直导线与金属杆所在的竖直平面向里最大静摩擦力等于滑动摩擦力对金属杆受力分析，由力的平衡可得，结合联立解得。14．如图所示，O1为粒子源，可以沿纸面内各方向射出速率相同、质量为m、电量为q的同种粒子，粒子重力不计，其运动区域存在垂直纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。已知O1O2为一水平线段且长度为7cm，MN为纸面内一垂直于O1O2的屏幕且足够长（粒子与屏幕接触后即被屏幕吸收不再继续运动），P为MN上一点，满足O2P＝cm。设θ为粒子在O1处速度方向与线段O1O2间的夹角，当θ＝53°时，粒子恰好能打在P点。取sin24°≈0.4，sin37°＝0.6，求：(1)粒子在磁场中运动的轨道半径R；(2)在粒子能打到MN上的条件下，粒子在磁场中运动的最长时间tm；(3)粒子能打到MIN上的区域长度X。【解析】(1)粒子在磁场中运动，恰好打到P点，如图甲所示，设∠PO1O2＝αsin(α＋37°)＝sin45°则粒子轨道半径。(2)当粒子速度偏转角度最大时，粒子在磁场中运动时间最长，且粒子能打到MN上条件下，故当运动轨迹与MN相切时，时间最长，如图乙所示；在磁场中运动的最长时间tm对应优弧所对应圆心角∠11
O1O3A（该角超过180°）由几何关系可知故，周期，。(3)如图丙所示，粒子打到MN上区域，上边界为直径O1E所对应的E点，下边界为圆弧与MN相切点F，由几何关系可知，故长度。15．如图甲所示，在边长为8m的水平面正方形区域MNST内用OQ平分了两种匀强磁场，其中左边磁场方向垂直纸面向里，右边磁场方向垂直纸面向外。在正方形区域左边与右边的边界（含磁场）的中点上有两个点发射源，能够在每秒中分别射出N个数量的离子，且离子射出的方向竖直向上。设左边磁场强度为B1，右边磁场强度为B2，并在距离MN竖直向下的2m，离MT距离为3m的地方放置了一个长为2m双面收集板ab（离子打在ab板上直接被收集）。(1)若A与B点发射源均能够将离子射入磁场内，求A与B点发射源射出的离子的带电性；(2)若点A发射源射出的离子比荷均为k，且能够全部打在板ab的左侧，求点A发射源的速度取值范围；(3)满足(1)的条件，A、B发射源射出的离子质量为m，电荷量为q，现将A、B带电离子源均向上提高2m，其他装置保持不变，如图乙，若B1＝B2，且此时A与B两点射出的离子均在ab板交于同一点。请在图乙处画出A与B电子的轨迹，并求离子束对探测板的平均作用力F。【解析】(1)由左手定则得，A电子源带负电，B电子源带负电。(2)当打在板的a端时，由几何关系得11
解得代入公式解得v＝当打在ab中点时，有几何关系得解得代入公式解得v＝故≥v≥。(3)轨迹如图所示。此时有几何关系得R＝2m故由解得v＝设时间内有个粒子打在板上，由动量定律得解得F＝。11
