2021年内蒙古包头市中考数学试卷一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。1．据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（ ）A．6B．5C．4D．32．下列运算结果中，绝对值最大的是（ ）A．1+（﹣4）B．（﹣1）4C．（﹣5）﹣1D．3．已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）A．1B．3C．1或3D．2或34．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ）A．B．C．D．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）A．8﹣πB．4﹣πC．2﹣D．1﹣6．若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（ ）A．7B．4C．3D．3﹣27．定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（ ）A．﹣1B．﹣2C．1D．28．如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（ ）A．80°B．70°C．60°D．50°9．下列命题正确的是（ ）A．在函数y＝﹣中，当x＞0时，y随x的增大而减小B．若a＜0，则1+a＞1﹣aC．垂直于半径的直线是圆的切线D．各边相等的圆内接四边形是正方形10．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（ ）A．B．C．D．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y第22页（共22页）
轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．其中正确的结论有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。13．因式分解：+ax+a＝ ．14．化简：＝ ．15．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 ．16．某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为 ．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 ．18．如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为 ．19．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为 ．20．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 ．三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。21．（8分）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足b＝2a．请根据所给信息，解答下列问题：甲组20名学生竞赛成绩统计表成绩（分）708090100人数3ab5第22页（共22页）
（1）求统计表中a，b的值；（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．22．（8分）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为km，CD长为（+）km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．（1）求A、D两点之间的距离；（2）求隧道AB的长度．23．（10分）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．24．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．第22页（共22页）
25．（12分）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP．（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，连接DP，求∠CPD的度数；（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，当BP＝CP时，连接EP并延长，交AC于点F，若AB＝4BP，求证：4EF＝3AB；（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，连接MP．若∠CMP＝150°，AB＝6a，MP＝a，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）是抛物线上一动点．（1）如图1，当m＞0，n＞0，且n＝3m时，①求点M的坐标；②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，）在对称轴上，当m＞2，n＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE平分∠AFG．第22页（共22页）
2021年内蒙古包头市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。1．据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（ ）A．6B．5C．4D．3【解答】解：因为46.61万＝466100＝4.661×105，所以将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于5．故选：B．2．下列运算结果中，绝对值最大的是（ ）A．1+（﹣4）B．（﹣1）4C．（﹣5）﹣1D．【解答】解：因为|1+（﹣4）|＝|﹣3|＝3，|（﹣1）4|＝|1|＝1，|（﹣5）﹣1|＝|﹣|＝，||＝|2|＝2，且＜1＜2＜3，所以绝对值最大的是选项A．故选：A．3．已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）A．1B．3C．1或3D．2或3【解答】解：根据题意分两种情况，①如图1，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB﹣BC＝2，∵D是线段AC的中点，∴AD＝＝；②如图2，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB+BC＝6，∵D是线段AC的中点，∴AD＝＝×6＝3．∴线段AD的长为1或3．故选：C．4．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：两双不同的鞋用A、a、B、b表示，其中A、a表示同一双鞋，B、b表示同一双鞋，第22页（共22页）
画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为4，所以取出的鞋是同一双的概率＝＝．故选：A．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）A．8﹣πB．4﹣πC．2﹣D．1﹣【解答】解：根据题意可知AC＝＝＝1，则BE＝BE＝AD＝AC＝1，设∠B＝n°，∠A＝m°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）＝﹣（）＝1﹣＝1﹣，故选：D．6．若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（ ）A．7B．4C．3D．3﹣2【解答】解：∵x＝+1，∴x﹣1＝，∴（x﹣1）2＝2，即x2﹣2x+1＝2，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+2＝1+2＝3．故选：C．7．定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（ ）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【解答】解∵a⊗b＝a﹣2b，∴x⨂m═x﹣2m．∵x⨂m＞3，∴x﹣2m＞3，∴x＞2m+3．∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，∴2m+3＝﹣1，第22页（共22页）
∴m＝﹣2．故选：B．8．如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（ ）A．80°B．70°C．60°D．50°【解答】解：如图，∵l1∥l2，∴∠1+∠3＝180°，∵∠1+∠2+∠3＝240°，∴∠2＝240°﹣（∠1+∠3）＝60°，∵∠3+∠2+∠5＝180°，∠3＝50°，∴∠5＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°，∵l1∥l2，∴∠4＝∠5＝70°，故选：B．9．下列命题正确的是（ ）A．在函数y＝﹣中，当x＞0时，y随x的增大而减小B．若a＜0，则1+a＞1﹣aC．垂直于半径的直线是圆的切线D．各边相等的圆内接四边形是正方形【解答】解：A、在函数y＝﹣中k＝﹣＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故原命题错误，不符合题意；B、若a＜0，则1+a＜1﹣a，故原命题错误，不符合题意；C、垂直于半径且经过半径的外端的直线是圆的切线，故原命题错误，不符合题意；D、各边相等的圆内接四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意，故选：D．10．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点（1，﹣b）在第一象限．∴﹣b＞0．∴b＜0．∵二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b）．∴﹣b＝a﹣b+c．第22页（共22页）
∴a+c＝0．∵a≠0．∴ac＜0．∴一次函数y＝bx﹣ac的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，∴AC＝CD，AB＝BD，∵AB＝AC，∴AC＝CD＝AB＝BD，∴四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，∠ACO＝∠DCO，∴BD＝＝＝5，∵CE⊥CD，∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO，∴∠CAO＝∠ECO，∴tan∠ECO＝＝，∴，∴EO＝，∴AE＝，∴＝＝，故选：D．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．其中正确的结论有（ ）第22页（共22页）
A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①矩形OABC中，∵B（4，2），∴OA＝4，OC＝2，由勾股定理得：OB＝＝2，当y＝2时，2＝，∴x＝1，∴D（1，2），∴CD＝1，由勾股定理得：OD＝＝，∴sin∠DOC＝＝＝，cos∠BOC＝＝，∴sin∠DOC＝cos∠BOC，故①正确；②设OB的解析式为：y＝kx（k≠0），把（4，2）代入得：4k＝2，∴k＝，∴y＝x，当x＝时，x＝±2，∴E（2，1），∴E是OB的中点，∴OE＝BE，故②正确；③当x＝4时，y＝，∴F（4，），∴BF＝2﹣＝，∴S△BEF＝（4﹣2）＝，S△DOE＝﹣﹣＝4﹣1﹣第22页（共22页）
＝，∴S△DOE＝S△BEF，故③正确；④由勾股定理得：DF＝＝，∵OD＝，∴＝，即OD：DF＝2：3．故④正确；其中正确的结论有①②③④，共4个．故选：A．二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。13．因式分解：+ax+a＝ a（x+2）2 ．【解答】解：原式＝a（x2+4x+4）＝a（x+2）2，故答案为：a（x+2）2．14．化简：＝ 1 ．【解答】解：原式＝•（m+2）＝＝1．故答案为1．15．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 2 ．【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，∴2b﹣1+b+4＝0，∴b＝﹣1．∴b+4＝﹣1+4＝3，∴a＝9．∴a+b＝9+（﹣1）＝8，∵8的立方根为2，∴a+b的立方根为2．故答案为：2．16．某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为 3.6 ．【解答】解：根据题意，数据5，10，7，x，10的中位数为8，则有x＝8，这组数据的平均数为（5+10+7+8+10）＝8，则这组数据的方差S2＝[5﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2]＝3.6，故答案为：3.6．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD第22页（共22页）
＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 ．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CD，MN⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽MBD，△CMN∽CDB，∴，，∴，∴，∴MN＝．故答案为：．18．如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为 24+6 ．【解答】解：连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠EOD+∠OEC＝180°，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°∴∠EOD＝90°，∵CF⊥AD，∴∠CFO＝90°，∴四边形OECF为矩形，第22页（共22页）
∴FC＝OE，∵AD为直径，AD＝12，∴FC＝OE＝OD＝AD＝6，∵OC＝AB，CF⊥AD，∴OF＝OD＝3，在Rt△OFC中，由勾股定理得，OC2＝OF2+FC2＝32+62＝45，∴AB＝OC＝3，∴▱ABCD的周长为12+12+3+3＝24+6，故答案为：24+6．19．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为 22.5° ．【解答】解：如右图，连接AE，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠BDC＝45°，∵DE＝DC＝AD，∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，∵∠DCB＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°，∵AD＝DE，∠ADE＝45°，∴∠AED＝＝67.5°，∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，在△ADE和△EDC中，，∴△ADE≌△EDC（SAS），∴AE＝EC，∴AE＝EF，即△AEF为等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠ABF＝90°，∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.5°，第22页（共22页）
故答案为：22.5°．20．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 4 ．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此时BE+DE的值最小，设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．故答案为4．三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。21．（8分）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足b＝2a．请根据所给信息，解答下列问题：第22页（共22页）
甲组20名学生竞赛成绩统计表成绩（分）708090100人数3ab5（1）求统计表中a，b的值；（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．【解答】解：（1）∵每组学生均为20名，∴a+b＝20﹣3﹣5＝12（名），∵b＝2a，∴a＝4，b＝8；（2）小明的计算不正确，正确的计算为：＝87.5（分）；（3）竞赛成绩较好的是甲组，理由：乙组20名学生竞赛成绩的平均分：100×+90×+80×+70×＝10+22.5+20+28＝80.5（分），80.5＜87.5，∴竞赛成绩较好的是甲组．22．（8分）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为km，CD长为（+）km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．（1）求A、D两点之间的距离；（2）求隧道AB的长度．【解答】解：（1）过A作AE⊥CD于E，如图所示：第22页（共22页）
则∠AEC＝∠AED＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AC＝（km），AE＝CE＝（km），∴DE＝CD﹣CE＝（+）﹣＝（km），∴AE＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE＝×＝（km）；（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE＝（km），∠ADE＝45°，∵∠CDB＝135°，∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，∴AB＝＝＝3（km），即隧道AB的长度为3km．23．（10分）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．【解答】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，根据题意，得，解得：x＝150，经检验，x＝150是所列方程的根，所以小刚跑步的平均速度为150米/分．（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为1800÷150＝12（分），骑自行车所用时间为12﹣4.5＝7.5（分），∵在家取作业本和取自行车共用了3分，∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3＝22.5（分）．又∵22.5＞20，所以小刚不能在上课前赶回学校．24．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB第22页（共22页）
于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．【解答】（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），∵GF⊥AB，AD为圆的直径，∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，∴∠GAE＝∠FAD，∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，∵四边形AEDF是圆的内接四边形，∴∠EAF+∠EDF＝180°，∴∠GAD+∠EDF＝180°．（2）解：如图，连接OF，∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，GF⊥AB，∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，∴△AHM∽△ADB，∴＝，∵tan∠ABC＝＝2，∴＝2，∵∠ACB＝45°，∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，∴∠AOF＝90°，∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（对顶角），∴△AHM∽△FOM，∴＝＝2，第22页（共22页）
∵AD＝4，∴OF＝OA＝2，∴＝2，解得OM＝1，AM＝OA﹣OM＝1，设HM＝x，则AH＝2x，在△AHM中有：AH2+HM2＝AM2，即（2x）2+x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），∴AH＝，∵OF＝OA＝2，∴AF＝2，在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF2，即（）2+HF2＝（2）2，解得HF＝，或HF＝﹣（舍去），故HF的长为．25．（12分）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP．（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，连接DP，求∠CPD的度数；（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，当BP＝CP时，连接EP并延长，交AC于点F，若AB＝4BP，求证：4EF＝3AB；（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，连接MP．若∠CMP＝150°，AB＝6a，MP＝a，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．【解答】解：（1）如图1，连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，在△BAP和△BCD中，，∴△BAP≌△BCD（SAS），∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD，∵∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠CBD+∠PBC＝60°，即∠PBD＝60°，第22页（共22页）
∴△BDP是等边三角形，∴∠BPD＝60°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC＝90°，∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°；（2）如图2，连接AP交BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BP＝CP，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝AB，∴AD＝AB•sin∠ABC＝AB•sin60°＝AB，∵AB＝4BP，∴BP＝AB，∴PD＝＝＝AB，∴PD＝AD，即点P是AD的中点，∵EC＝3BE，∴BE＝BC，BC＝4BE，∵BD＝BC，∴BE＝BD，即点E是BD的中点，∴EP是△ABD的中位线，∴EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝＝＝，∴4EF＝3AB；（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，交AC于点F，作PH⊥AC于点H，由（2）得：AD＝AB＝3a，∠ACB＝60°，BC＝AC＝AB＝6a，∵∠CMP＝150°，∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°，∵∠CHP＝90°，∴PH＝PM•sin∠PMF＝a•sin30°＝a，MH＝PM•cos∠PMF＝a•cos30°＝a，∵EF⊥BC，∴∠CEF＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∴∠CFE＝∠PMF，∴PF＝PM＝a，∴FH＝PF•cos∠PFH＝a•cos30°＝a，第22页（共22页）
∵AM＝2MC，∴CM＝AC＝×6a＝2a，∴CF＝CM++MH+HF＝5a，∴EF＝CF•sin∠ACB＝5a•sin60°＝a，∴PE＝EF﹣PF＝a﹣a＝a，∴S1﹣S2＝S△ABC﹣S△BCP＝BC•AD﹣BC•PE＝BC•（AD﹣PE）＝×6a×（3a﹣a）＝a2．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）是抛物线上一动点．（1）如图1，当m＞0，n＞0，且n＝3m时，①求点M的坐标；②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，）在对称轴上，当m＞2，n＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y第22页（共22页）
轴上一点，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE平分∠AFG．【解答】解（1）①∵点M（m，n）在抛物线y＝﹣x2+4x上，∴n＝﹣m2+4m（Ⅰ），∵n＝3m（Ⅱ），联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，（舍去）或，∴M（1，3）；②OD＝MC，理由：如图1，∵点B（，y）在该抛物线y＝﹣x2+4x上，∴y＝﹣（）2+4×＝，∴B（，），由①知，M（1，3），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+，令y＝0，则﹣x+＝0，∴x＝5，延长MB交x轴于P，∴P（5，0），∴OP＝5，∵M（1，3），∴PM＝＝5＝OP，∴∠POM＝∠PMO，∵CD∥MO，∴∠PDC＝∠POM，∠PCD＝∠PMO，∴∠PDC＝∠PCD，∴PD＝PC，∴PO﹣PD＝PM﹣PC，∴OD＝MC；（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴E（2，），令y＝0，则﹣x2+4x＝0，第22页（共22页）
∴x＝0或x＝4，∴A（4，0），∵AN⊥x轴，∴点N的横坐标为4，由图知，NF＝EF+EM+MN，MF＝EF+EM，∵EF+NF＝2MF，∴EF+EF+EM+MN＝2（EF+EM），∴MN＝EM，过点M作HM⊥x轴于H，∴MH是梯形EKAN的中位线，∴M的横坐标为3，∵点M在抛物线上，∴点M的纵坐标为﹣32+4×3＝3，∴M（3，3），∵点E（2，），∴直线EF的解析式为y＝x+1，令y＝0，则x+1＝0，∴x＝﹣，∴F（﹣，0），∴OF＝，∵令y＝0，则y＝1，记直线EF与y轴的交点为L，∴L（0，1），∴OL＝1，∵G（0，），∴OG＝，∴LG＝OG﹣OL＝，根据勾股定理得，FG＝＝＝，过点L作LQ⊥FG于Q，∴S△FLG＝FG•LQ＝LG•OF，∴LQ＝＝＝1＝OL，∵OL⊥FA，LQ⊥FG，∴FE平分∠AFG，即射线FE平分∠AFG．第22页（共22页）
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