2021年内蒙古包头市、巴彦淖尔市、乌兰察布市中考数学真题试卷【含答案解释，可编辑】注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一．将46.61万用科学记数法表示为，则n等于（ ）A．6B．5C．4D．32．下列运算结果中，绝对值最大的是（ ）A．B．C．D．3．已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）A．1B．3C．1或3D．2或34．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ）A．B．C．D．5．如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）A．B．C．D．6．若，则代数式的值为（ ）A．7B．4C．3D．7．定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为试卷第6页，共6页
，则m的值是（ ）A．B．C．1D．28．如图，直线，直线交于点A，交于点B，过点B的直线交于点C．若，，则等于（ ）A．B．C．D．9．下列命题正确的是（ ）A．在函数中，当时，y随x的增大而减小B．若，则C．垂直于半径的直线是圆的切线D．各边相等的圆内接四边形是正方形10．已知二次函数的图象经过第一象限的点，则一次函数的图象不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．如图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E．若，，则的值为（ ）A．B．C．D．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）试卷第6页，共6页
A．4个B．3个C．2个D．1个第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．因式分解：_______．14．化简：_____．15．一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______．16．某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10，若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为________．17．如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．18．如图，在中，，以AD为直径的与BC相切于点E，连接OC．若，则的周长为____________．19．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为__________．试卷第6页，共6页
20．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．三、解答题21．为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足．请根据所给信息，解答下列问题：甲组20名学生竞赛成绩统计表 成绩（分）708090100人数3ab5（1）求统计表中a，b的值；（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．22．某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图，测得AC长为，CD长为，BD长为，，（A、B、C、D在同一水平面内）．试卷第6页，共6页
（1）求A、D两点之间的距离：（2）求隧道AB的长度．23．小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．24．如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的交AB于点E，交AC于点F，过点F作，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．（1）求证：；（2）若，，，求HF的长．25．如图，已知是等边三角形，P是内部的一点，连接BP，CP．（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作，，连接DP，求的度数；（2）如图2，E是BC边上一点，且，当时，连接EP并延长，交AC于点F．若，求证：；试卷第6页，共6页
（3）如图3，M是AC边上一点，当时，连接MP．若，，，的面积为，的面积为，求的值（用含a的代数式表示）．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点．（1）如图1，当，，且时，①求点M的坐标：②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若，求证：射线FE平分．试卷第6页，共6页
参考答案：1．B【分析】把46.61万表示成科学记数法的形式，即可确定n．【详解】46.61万=466100=4.661，故n=5故选：C．【点睛】本题考查把一个绝对值较大的数用科学记数法表示，科学记数法的形式为，其中，n为绝对值较大的数的整数数位与1的差．2．A【分析】计算各个选项的结果的绝对值，比较即知．【详解】∵1+(−4)=−3，(-1)4=1，(-5)-1=，而，，，，且∴的绝对值最大故选：A．【点睛】本题考查了实数的运算、实数的绝对值等知识，掌握实数的运算法则是关键．3．C【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．【详解】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,∴AD=AC=1答案第26页，共26页
如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,∴AD=AC=3故选C．【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．4．A【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，取出的鞋是同一双有4个，再由概率公式求解即可．【详解】解：设两双鞋的型号分别为：，其中A1，A2为一双，B1，B2为一双，画树状图如下：共有12种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4种，则取出的鞋是同一双的概率为：，故选：A．【点睛】答案第26页，共26页
本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．D【分析】利用勾股定理可求出AC的长，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠A+∠B=90°，根据S阴影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD即可得答案．【详解】∵，∴∠A+∠B=90°，∵，，∴=1，∴S阴影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD=BC·AC-=×1×2-=1-，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理及扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．6．C【分析】先将代数式变形为，再代入即可求解．【详解】解：．故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计答案第26页，共26页
算．7．B【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为，所以与化简所求解集相同，可得出等式，即可求得m．【详解】解：由，∴，得：，∵解集为，∴∴，故选：B．【点睛】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式．8．B【分析】根据平行线性质计算角度即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查平行线性质，熟练识别同位角、内错角，同旁内角是解决本题的关键．9．D【分析】答案第26页，共26页
分别根据相关知识点对四个选项进行判断即可．【详解】A、当时，反比例函数在时，函数值y随x的增大而增大，故此选项错误；B、当a<0时，-a>0，故-a>a，从而1-a>1+a，故此选项错误；C、过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故此选项错误；D、由于圆内接四边形的四边相等，故每边所对的圆心角相等且均为，由此可得四边形的对角线相互垂直且相等，因而此四边形是正方形，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题分别考查了反比例函数的性质，不等式的性质，切线的定义，圆与正多边形等知识，关键是要对这些知识熟练掌握．10．C【分析】根据直角坐标系和象限的性质，得；根据二次函数的性质，得，从而得，通过计算即可得到答案．【详解】∵点在第一象限∴∴∵二次函数的图象经过第一象限的点∴∴∴当时，，即和y轴交点为：当时，，即和x轴交点为：∵，答案第26页，共26页
∴一次函数的图象不经过第三象限故选：C．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．11．D【分析】根据，和关于直线BC对称，证明出四边形ABDC是菱形，再根据菱形的性质得到BC⊥AD，OC=OB，OA=OD，最后由勾股定理求出结果．【详解】解：∵，和关于直线BC对称，∴AB=AC=CD=BD，∴四边形ABDC是菱形，∴BC⊥AD，OC=OB，OA=OD，∵，，∴OC=OB=3，OA=OD=4，在Rt△COD中，OC=3，OD=4，∴DC=，∴AB=AC=CD=BD=5，∵，∴，，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】答案第26页，共26页
本题主要考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理，关键在于利用等腰三角形与折叠的性质证明出四边形是菱形，再用菱形的性质与勾股定理进行求解．12．A【分析】根据题意，图中各点的坐标均可以求出来，，，只需证明即可证明结论①；先求出直线OB的解析式，然后求直线OB与反比例函数的交点坐标，即可证明结论②；分别求出和，进行比较即可证明结论③；只需证明，即可求证结论④．【详解】解：∵OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），∴A点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)，根据反比例函数，当时，，即D点坐标为(1，2)，当时，，即F点坐标为(4，)，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，故结论①正确；设直线OB的函数解析式为：，点B代入则有：，解得：，答案第26页，共26页
故直线OB的函数解析式为：，当时，(舍)即时，，∴点E的坐标为(2，1)，∴点E为OB的中点，∴，故结论②正确；∵，∴，由②得：，，∴，故结论③正确；在和中，，∴，∴，故结论④正确，综上：①②③④均正确，故选：A．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，反比例函数与几何综合，结合题意求出图中各点坐标是解决本题的关键．13．【分析】首先将公因式a提出来，再根据完全平方公式进行因式分解即可．答案第26页，共26页
【详解】，故填：．【点睛】本题考查提公因式因式分解，公式法因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法：提公因式因式分解和公式法因式分解．14．1【分析】直接按照分式的四则混合运算法则计算即可．【详解】解：====1．故填1．【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算，掌握分式的四则混合运算法则成为解答本题的关键．15．2【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可．【详解】∵和是正数a的平方根，∴，解得，答案第26页，共26页
将b代入，∴正数，∴，∴的立方根为：，故填：2．【点睛】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数．16．3.6【分析】根据中位数的性质，得；再根据方差的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，∴5次射击命中的环数分别为5，10，7，8，10∴这组数据的平均数为：∴这组数据的方差为：故答案为：3.6．【点睛】本题考查了数据分析的知识；解题的关键是熟练掌握中位数、方差的性质，从而完成求解．17．【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，∴，答案第26页，共26页
∴即,又∵，∴，解得,故填：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．18．【分析】连接OE，作AF⊥BC于F，先证明为矩形，进而证明Rt△ABF≌Rt△OCE，得到BF=CE=3，利用勾股定理求出OC=，即可求出的周长．【详解】解：如图，连接OE，作AF⊥BC于F，∵BE为的切线，∴∠OEC=∠OEB=90°，∵AD∥BC，∴AF∥OE，∴四边形AFEO为平行四边形，∵∠OEF=90°，∴为矩形，∴AF=OE，EF=AO==6,∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，BC=AD=12，∵AB=OC∴Rt△ABF≌Rt△OCE，答案第26页，共26页
∴BF=CE=3，∵OE=OA=6，∴在Rt△OCE中，，∴AB=CD=OC=，∴的周长为为（）×2=．故答案为：【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，平行四边形等知识，熟知相关定理，并根据题意添加辅助线是解题关键．19．【分析】首先连接AE，由题可知，DE=DC=AD,所以△DEC,△AED,△EFC是等腰三角形，由正方形的性质得∠EBC=∠ADE=∠EDC=45°，求出,得出=22.5°，,,所以,得出∠AEF=90°，再证明,则,所以△AEF为等腰直角三角形，∠FAE=45°，减去∠BAE即可．【详解】连接AE,如图，答案第26页，共26页
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=CD,∠ADE=∠EDC=∠CBE=45°，,∵DE=CD,∴AD=DE=CD，∴∠DAE=∠DEA=∠DEC=∠DCE=67.5°，∴,,又∵EF=EC,∴,∴,∴,∴,在△DAE和△DEC中：∵∴△DAE≌△DEC(SAS),∴AE=EC，又∵EC=EF,∴AE=EF，∴△AEF为等腰直角三角形，∴∠FAE=45°，∴,故填：22.5°．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和，解题关键是添加辅助线，构造全等三角形．20．4【分析】根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．答案第26页，共26页
【详解】解：根据题意可求出，抛物线的对称轴为：，根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A，连接AD与交于点E，此时的值最小，过D点作x轴垂线，垂足为F，设抛物线对称轴与x轴交点为G，∵，∴，∴，∴，过点C作的垂线，垂足为H，所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG的面积和，即，则S四边形ACHE-，故答案为：4．【点睛】答案第26页，共26页
本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E的坐标是解决本题的关键．21．（1）；（2）不正确，87.5分；（3）甲组成绩好，见解析【分析】（1）根据总人数为20人与，求出a，b的值；（2）根据加权平均数公式判断出原结果是错误的，计算出正确结果；（3）算出甲乙两组的平均成绩进行比较，得出结论．【详解】解：（1）根据题意，得，解得，（2）不正确．正确的算法：甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分）（3）根据扇形统计图可知，乙组学生竞赛成绩为70分，80分，90分，100分的人数占乙组总人数的百分比分别为40%，25%，25%，10%．所以乙组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分）因为，所以甲组竞赛成绩较好．【点睛】此题主要考查了扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数的意义是正确解答的前提．22．（1）；（2）3km【分析】（1）过点A作，垂足为E，在中，可利用特殊角的三角函数值和已知分别求出AE，CE及DE，则可由勾股定理求得A、D两点之间的距离；（2）利用（1）中所求结果，可判断出△ADE是等腰直角三角形，结合已知角度可推出△ABD是直角三角形，即可由勾股定理求得隧道AB的长度．【详解】答案第26页，共26页
解：（1）如图，过点A作，垂足为E，．在中，，，，．，．，．在中，，．A、D两点之间的距离为．（2），，∴△ADE是等腰直角三角形，，，，是直角三角形．答案第26页，共26页
在中，，，．隧道AB的长度为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值并正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可．【详解】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，根据题意，得，解这个方程，得，经检验，是所列方程的根，所以小刚跑步的平均速度为150米/分．（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为（分），骑自行车所用时间为（分），在家取作业本和取自行车共用了3分，所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要（分）．因为，所以小刚不能在上课前赶回学校．【点睛】本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．24．（1）见解析；（2）答案第26页，共26页
【分析】（1）是的直径，可以得到，推出，再用平行线的判定和性质可求出；（2）连接OF，得到，由于是的直径，得到，，，用平行线的判定得到，再用角之间的关系证明，再用相似三角形的性质，证明就可求出HF．【详解】如图解：（1）证明：是的直径，．，，，，．，．（2）连接OF，AD是BC边上的高，．，．．是的直径，，答案第26页，共26页
，．，．．．，．，，．，，．在中，，，，，，，，．在中，，，，，，，，，答案第26页，共26页
．【点睛】此题考查圆的性质和相似三角形的证明的综合运用，熟悉掌握相似三角形的性质和灵活作辅助线是解题的关键．25．（1）30°；（2）见解析；（3）【分析】（1）连接BD，易证，则由全等三角形的性质可得△DBP是等边三角形，则可得∠BPD=60゜，再由BC边是直径即可求得结果；（2）连接AP并延长交BC于点G，则由垂直平分线的性质可得AG⊥BC，且BG=CG，设，则CE、EG、BC、AB、BP均可用x的代数式表示，这样在由勾股定理可求得PG的长，在中，由正切的三角函数可求得∠GEP=60゜，从而可得，根据相似三角形的性质即可得结论；（3）延长MP交AB于点H，连接AP，过点P作，垂足为N，则由已知易得∠MHA=90゜，由直角三角形的性质及勾股定理可得AH、MH的长，从而可求得△PAB的面积，在Rt△MNP中，由直角三角形的性质可得PN的长，从而可求得△PAC的面积，而，从而可求得结果．【详解】（1）如图，连接BD是等边三角形，，．，，，答案第26页，共26页
，．，，，是等边三角形，．BC为半圆O的直径，，．（2）如图，连接AP并延长交BC于点G，，，．设，则，．，．，．，．在中，由勾股定理得：，．答案第26页，共26页
在中，，，．，，，．（3）如图，延长MP交AB于点H，连接AP，过点P作，垂足为N，，．，．，．在中，，，，．，．，在中，，，答案第26页，共26页
．．．【点睛】本题是一个几何综合题，考查了圆的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，30゜角的直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的计算，锐角三角函数等知识，题目不算太难，但涉及的知识点多，关键是要灵活运用这些知识．26．（1）①；②，见解析；（2）见解析【分析】（1）①直接将点代入解析式，又有，即可解出坐标；②相等，先求出点，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；（2）根据已知条件求出点的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与轴的交点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线．【详解】解：（1）如答案图6.①点在抛物线上，且，，解得，（舍去），，．②，答案第26页，共26页
点在该抛物线上，，．设直线MB交x轴于点H，解析式为，解得当时，，，．过点M作轴，垂足为R，，，，根据勾股定理得，，．，，，，，．（2）如答案图7.证明：对称轴，，，，．过点M作轴，垂足为Q，，，．答案第26页，共26页
当时，解得，，．，，，．，．设直线EM的解析式为，解得．设直线EM交y轴于点S，过点S作，垂足为P．当时，．．当时，，，，．，，．，，，，．设，则．在中，，．（负值舍去），，，答案第26页，共26页
．，，射线FE平分．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力．答案第26页，共26页
