2021年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2021•通辽）|﹣2|的倒数是（ ）A．2B．12C．﹣2D．-122．（3分）（2021•通辽）下列计算正确的是（ ）A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1C．x3•x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y63．（3分）（2021•通辽）为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）A．平均数，方差B．中位数，方差C．中位数，众数D．平均数，众数4．（3分）（2021•通辽）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．（3分）（2021•通辽）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（ ）第34页（共34页）\nA．3B．4C．5D．66．（3分）（2021•通辽）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）A．507（1+2x）＝833.6B．507×2（1+x）＝833.6C．507（1+x）2＝833.6D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.67．（3分）（2021•通辽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC8．（3分）（2021•通辽）定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y=-3x的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（ ）A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]9．（3分）（2021•通辽）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）第34页（共34页）\nA．32B．322C．32或322D．322或35510．（3分）（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2021•通辽）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 ．12．（3分）（2021•通辽）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．第34页（共34页）\n13．（3分）（2021•通辽）一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为 ．14．（3分）（2021•通辽）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为 ．15．（3分）（2021•通辽）若关于x的不等式组3x-2≥12x-a＜5，有且只有2个整数解，则a的取值范围是 ．16．（3分）（2021•通辽）如图，AB是⊙O的弦，AB＝23，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ．第34页（共34页）\n17．（3分）（2021•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 ．（用含有正整数n的式子表示）三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2021•通辽）计算：（12）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3-12|．19．（6分）（2021•通辽）先化简，再求值：（2x+1x+1+x﹣1）÷x+2x2+2x+1，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．20．（6分）（2021•通辽）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．21．（7分）（2021•通辽）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C第34页（共34页）\n处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：3≈1.732）22．（7分）（2021•通辽）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次共抽取 名学生，a的值为 ；（2）在扇形统计图中，n＝ ，E组所占比例为 %；（3）补全频数分布直方图；（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．23．（8分）（2021•通辽）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．第34页（共34页）\n（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的13．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？24．（8分）（2021•通辽）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．25．（10分）（2021•通辽）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（22OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；（2）将△MON绕点O顺时针旋转．①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．第34页（共34页）\n26．（12分）（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第34页（共34页）\n2021年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2021•通辽）|﹣2|的倒数是（ ）A．2B．12C．﹣2D．-12【解答】解：|﹣2|的倒数是12，故选：B．2．（3分）（2021•通辽）下列计算正确的是（ ）A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1C．x3•x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6【解答】解：A．x2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；B.2x3﹣x3＝x3，故本选项不合题意；C．x3•x4＝x7，故本选项符合题意；D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本选项不合题意；故选：C．3．（3分）（2021•通辽）为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）第34页（共34页）\nA．平均数，方差B．中位数，方差C．中位数，众数D．平均数，众数【解答】解：由表格数据可知，成绩为24分、92分的人数为50﹣（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98，因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，故选：C．4．（3分）（2021•通辽）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．5．（3分）（2021•通辽）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（ ）第34页（共34页）\nA．3B．4C．5D．6【解答】解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左右都有）个，第二行的正方体可能有2（左边有）或3（左右都有）个，∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，∴不可能有6个．故选：D．6．（3分）（2021•通辽）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）A．507（1+2x）＝833.6B．507×2（1+x）＝833.6C．507（1+x）2＝833.6D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6【解答】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：507（1+x）2＝833.6，故选：C．7．（3分）（2021•通辽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）第34页（共34页）\nA．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，AD=ADDE=DC，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，故选：B．8．（3分）（2021•通辽）定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y=-3x的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（ ）A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y＝﹣2x+m+3，设A（x1，0），B（x2，0），第34页（共34页）\n联立y=-2x+m+3y=-3x，∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，∵x1和x2是方程的两根，∴x1+x2=m+32，又∵A，B两点关于原点对称，∴x1+x2＝0，∴m+32=0，∴m＝﹣3，根据定义，一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]，故选：D．9．（3分）（2021•通辽）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（ ）A．32B．322C．32或322D．322或355【解答】解：①当MB'=13MN时，如图：第34页（共34页）\nRt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'=13AB＝1，∴AM=AB'2-MB'2=22，∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，∴四边形ABNM是矩形，∴BN＝AM＝22，MN＝AB＝3，设BE＝x，则B'E＝x，EN＝22-x，Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，∴（22-x）2+22＝x2，解得x=322，∴BE的长为322；②当NB'=13MN时，如图：∵NB'=13MN＝1，第34页（共34页）\n∴MB'＝2，设BE＝y，同①可得y=355，∴BE的长为355，综上所述，BE的长为322或355．故选：D．10．（3分）（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．当0≤x≤3时，AP＝AQ＝x，第34页（共34页）\n∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DP＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．二、填空题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2021•通辽）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 1.2×10﹣7 ．【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．故答案为：1.2×10﹣7．12．（3分）（2021•通辽）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 13 ．【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，画树状图如图：第34页（共34页）\n共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，∴能让两个小灯泡同时发光的概率为26=13，故答案为：13．13．（3分）（2021•通辽）一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为 75° ．【解答】解：如图，∠A＝45°，∠C＝30°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠C＝30°，∴∠1＝∠2+∠A＝30°+45°＝75°，故答案为：75°．第34页（共34页）\n14．（3分）（2021•通辽）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为 x-y=5y-12x=5 ．【解答】解：设绳索长x尺，竿长y尺，依题意得：x-y=5y-12x=5．故答案为：x-y=5y-12x=5．15．（3分）（2021•通辽）若关于x的不等式组3x-2≥12x-a＜5，有且只有2个整数解，则a的取值范围是 ﹣1＜a≤1 ．【解答】解：解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，解不等式2x﹣a＜5，得：x＜a+52，∵不等式组只有2个整数解，∴2＜a+52≤3，解得﹣1＜a≤1，故答案为：﹣1＜a≤1．16．（3分）（2021•通辽）如图，AB是⊙O的弦，AB＝23，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 4π3-34 ．第34页（共34页）\n【解答】解：连接OA、OB、OM，如图，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵AM＝BM=12AB=3，∴OM⊥AB，∴tan30°=OMAM，∴OM=33×3=1，∴OA＝2OM＝2，∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN=12AC，∴△MBN∽△ABC，∴S△MBNS△ABC=（MNAC）2=14，∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，第34页（共34页）\n∴△ABC的面积最大值为：12×23×（2+1）＝33，∴△MBN的面积最大值为：334，∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB=120π×22360-12×23×1=4π3-3，∴此时，S阴影=4π3-3+334=4π3-34，故答案为：4π3-34．17．（3分）（2021•通辽）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为 （n-1+n，-n-1+n） ．（用含有正整数n的式子表示）【解答】解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，易知M1（1，0）是OA1的中点，∴A1（2，0）．可得B1的坐标为（1，1），∴B1O的解析式为：y＝x，∵P1O∥A1P2，∴A1B2的表达式一次项系数相等，将A1（2，0）代入y＝x+b，第34页（共34页）\n∴b＝﹣2，∴A1B2的表达式是y＝x﹣2，与y=1x（x＞0）联立，解得B2（1+2，﹣1+2）．仿上，A2（22，0）．B3（2+3，-2+3），依此类推，点Bn的坐标为（n-1+n，-n-1+n），故答案为（n-1+n，-n-1+n）．三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2021•通辽）计算：（12）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3-12|．【解答】解：原式＝2+1﹣2×32+23-3=-3+23=3．19．（6分）（2021•通辽）先化简，再求值：（2x+1x+1+x﹣1）÷x+2x2+2x+1，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．【解答】解：原式=2x+1+x2-1x+1•(x+1)2x+2=x(x+2)x+1•(x+1)2x+2＝x（x+1）＝x2+x，解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，∵x+1≠0，第34页（共34页）\n∴x≠﹣1，当x＝2时，原式＝22+2＝6．20．（6分）（2021•通辽）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．【解答】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，∴点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率为49．21．（7分）（2021•通辽）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：3≈1.732）第34页（共34页）\n【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°=ADCD=1，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°=ADBD，∴BD=ADtan30°，∵BC＝BD﹣CD=AD33-AD＝60（m），∴AD＝30（3+1）≈82（m），答：此段河面的宽度约82m．22．（7分）（2021•通辽）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．第34页（共34页）\n其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次共抽取 150 名学生，a的值为 12 ；（2）在扇形统计图中，n＝ 144 ，E组所占比例为 4 %；（3）补全频数分布直方图；（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．【解答】解：（1）A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，因此调查人数为：15÷（18%﹣8%）＝150（人），a＝150×8%＝12（人），故答案为：150，12；（2）360°×60150=360°×40%＝144°，即n＝144，“E组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，故答案为：144，4；（3）b＝a+15＝27（人），“C组”频数为：150×30%＝45（人），第34页（共34页）\n“E组”频数为：150×4%＝6（人），补全频数分布直方图如图所示：（4）1500×60+6150=660（人），答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人．23．（8分）（2021•通辽）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的13．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？【解答】解：（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，依题意得：900x+6=720x，解得：x＝24，经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意，第34页（共34页）\n∴x+6＝30．答：甲种消毒液的零售价为30元/桶，乙种消毒液的零售价为24元/桶．（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，依题意得：m≥13（300﹣m），解得：m≥75．设所需资金总额为w元，则w＝20m+15（300﹣m）＝5m+4500，∵5＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝75时，w取得最小值，最小值＝5×75+4500＝4875．答：当甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．24．（8分）（2021•通辽）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．【解答】（1）证明：连接OD，第34页（共34页）\n∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°，∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠DOP＝∠AOP，在△AOP和△DOP中AO=DO∠AOP=∠DOPPO=PO，∴△AOP≌△DOP（SAS），∴∠PDO＝∠PAO，∵∠PAO＝90°，∴∠PDO＝90°，即OD⊥PD，∵OD过O，∴PD是⊙O的切线；第34页（共34页）\n（2）解：由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA＝PD，∵四边形POBD是平行四边形，∴PD＝OB，∵OB＝OA，∴PA＝OA，∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°．25．（10分）（2021•通辽）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（22OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；（2）将△MON绕点O顺时针旋转．①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．第34页（共34页）\n【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM＝BN；（2）①证明：连接BN，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，即∠AOM＝∠BON，第34页（共34页）\n∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，∴∠MBN＝90°，∴MN2+BN2＝MN2，∵△MON都是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴AM2+BM2＝2OM2；②解：如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN＝x，由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，∴MN＝32，AB＝42，∴（x﹣32）2+x2＝（42）2，解得：x=46+322，∴AM＝BN=46+322，第34页（共34页）\n如图4，当点，M在线段AN上时，连接BN，设BN＝x，由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，∴MN＝32，AB＝42，∴（x+32）2+x2＝（42）2，解得：x=46-322，∴AM＝BN=46-322，综上所述，线段AM的长为46+322或46-322．26．（12分）（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第34页（共34页）\n【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，∴9a+3b+3=0a-b+3=0，解得：a=-1b=2，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．∵AP＝BP，∴△PBC周长的最小值是：PB+PC+BC＝AC+BC．∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），∴AC＝32，BC=10．∴△PBC周长的最小值是：32+10．抛物线对称轴为直线x=-22×(-1)=1，第34页（共34页）\n设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：3k+c=0c=3，解得：k=-1c=3，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∴P（1，2）；（3）存在．设P（1，t），①以AC为边时，如图2，∵四边形ACPQ是菱形，∴CP＝CA，∴12+（3﹣t）2＝32+32，解得：t＝3±17，∴P1（1，3-17），P2（1，3+17），∴Q1（4，-17），Q2（4，17），②以AC为对角线时，如图3，∵四边形ACPQ是菱形，∴CP＝PA，∴12+（3﹣t）2＝（1﹣3）2+t2，解得：t＝1，∴P3（1，1），Q3（2，2），综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，-17），Q2（4，17），Q3（2，2）．第34页（共34页）\n第34页（共34页）
