专题突破练10 三角函数与解三角形解答题1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cosx,sinx),b=(4sinx,4sinx),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;(2)求f(x)在区间上的最值.2.(2021·广东广州高三二模)如图,在四边形ABCD中,△BCD是等腰直角三角形,∠BCD=90°,∠ADB=90°,sin∠ABD=,BD=2,AC与BD交于点E.(1)求sin∠ACD;(2)求△ABE的面积.3.(2021·河北唐山高三一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=2B.(1)若a=2,B=15°,求△ABC的面积;(2)若a+b=c,证明:△ABC为等腰直角三角形.4.(2021·湖南长沙一中高三月考)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,且asinC=ccosA+c.(1)求角A.(2)在①△ABC的周长为6+2,②△ABC的面积为,③,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.问题:已知b=2, ,判断是否存在这样的三角形?若存在,求出B的值;若不存在,请说明
理由. 5.(2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,b=.(1)若cosAcosC=,求△ABC的面积;(2)试问=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.
7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=sinB-sinA.(1)求角A;(2)若a=2,求的最小值.8.(2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=.计划在上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ.(1)当θ=时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sinθ的值.
专题突破练10 三角函数与解三角形解答题1.解由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4sinxcosx+4sin2x=1+2sin2x+4=2sin2x-2cos2x+3=4sin+3.(1)由+2kπ≤2x-+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z).(2)由于x,所以2x-,故当2x-即x=时,函数f(x)取最大值7;当2x-=-即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解(1)因为△BCD是等腰直角三角形,∠BCD=90°,BD=2,所以∠CBD=∠CDB=45°,BC=CD=BDsin45°=在△ABD中,∠ADB=90°,sin∠ABD=,所以cos∠ABD=,因此AB=,则AD==1.记∠ACD=θ,则∠CAD=180°-∠ADC-θ=45°-θ,0°<θ<45°,在△ACD中,由正弦定理可得,即,则,即cosθ=3sinθ,代入sin2θ+cos2θ=1可得10sin2θ=1,解得sinθ=±,又因为0°<θ<45°,所以sinθ=,即sin∠ACD=(2)由(1)知sin∠ACD=,由可得sin∠CAD=,则cos∠CAD=,所以tan∠CAD=,所以DE=AD·tan∠CAD=,所以△ABE的面积为S△ABE=S△ABD-S△ADE=AD×BD-AD×DE=3.(1)解由C=2B及B=15°,得C=30°,于是A=135°,由正弦定理可得b==2sinB=2sin15°=2sin(45°-30°)=2(sin45°cos30°-cos45°sin30°)=2=-1,因此S△ABC=absinC=2×(-1)(2)证明由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理可得c=2bcosB,由余弦定理有2accosB=a2+c2-b2,所以ac2=b(a2+c2-b2),整理可得(a-b)[c2-b(a+b)]=0,将a+b=c代入上式可得(a-b)2(a+b)=0,因此a=b,于是c=a=b,a2+b2=2a2=c2,即C=90°.故△ABC为等腰直角三角形.4.解(1)在△ABC中,asinC=ccosA+c,由正弦定理可得sinAsinC=sinCcosA+sinC,又sinC≠0,则sinA=cosA+1,
即2sincos=2cos2,又0,,则sin=cos,所以tan,所以,A=(2)选①,△ABC的周长为6+2,因为b=2,所以a+c=4+2,所以,sinC=sinA=,所以,解得a+c=4+2,(i)又a2=b2+c2-2bccosA=4+c2-2c,(ii)联立(i)(ii)解得a=2,c=4,则由,解得sinB=,又因为a>b,所以B=选②,△ABC的面积为,因为b=2,A=,所以S△ABC=bcsinA=c=,解得c=2,所以△ABC为等边三角形,所以B=选③,,因为A=,b=2,由余弦定理可得c-1=,(iii)a2=b2+c2-2bccosA=4+c2-2c,(iv)由(iii)(iv)联立,无解,三角形不存在.5.解(1)选用测角仪和米尺,如图所示.①选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上;②在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为α,β,HG=a,即CD=a.测得测角仪器的高是h;③(方法一)在△ACD中,由正弦定理,得,所以AC=,在Rt△ACE中,有AE=ACsinβ=,所以建筑物的高度AB=AE+h=+h.(方法二)在Rt△ADE中,DE=,在Rt△ACE中,CE=,所以CD=DE-CE=,所以AE=,所以建筑物的高度AB=AE+h=+h.(2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差;③用身高代替测角仪的高度.6.解(1)由B=,得A+C=,cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC,即=cosAcosC-sinAsinC.因为cosAcosC=,所以sinAsinC=因为=2,所以a=2sinA,c=2sinC.
所以S△ABC=2sinA·2sinC·sinB=4sinA·sinBsinC=4(2)假设=1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,所以6=a2+c2+ac.所以(a+c)2-ac=6,所以(ac)2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3.不满足a+c≥2,所以=1不成立.7.解(1)由=sinB-sinA,可得(b-c)sinC=(sinB-sinA)(b+a),由正弦定理得(b-c)c=(b-a)(b+a),即b2+c2-a2=bc,由余弦定理,得cosA=,因为0<A<π,可得A=(2)由(1)知A=,设△ABC的外接圆的半径为R(R>0),可得2R=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥bc,即bc≤a2=4,当且仅当b=c=2时取等号,又,所以的最小值为8.解(1)在△POQ中,因为∠AQC=,所以∠AQO=又OA=OB=3,所以OQ=设∠OPQ=α,则∠PQO=-α+θ.由正弦定理,得,即sinα=cos(α-θ),整理得tanα=,其中当θ=时,tanα=因为,所以α=故当θ=时,∠OPQ=(2)设f(θ)=,,则f'(θ)=令f'(θ)=0,得sinθ=,记锐角θ0满足sinθ0=,当0<θ<θ0时,f'(θ)>0;当θ0<θ<时,f'(θ)<0,所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.由(1)可知tanα=f(θ)>0,则,又y=tanα单调递增,则当tanα取最大值时,α也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sinθ=
