高考原生态满分练2 三角函数与解三角形(本题满分12分)(2020·全国卷Ⅱ,17)在△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求角A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.学生解答教师批阅分析1:本题第(1)问是求三角形的内角,应先求其某一三角函数值.本题第(2)问,要求周长的最大值,实质是求AB+AC的最大值,因此可用基本不等式(方法一),也可利用正弦定理将AB+AC用角B或C的三角函数表示,然后借助三角恒等变换求得最值(方法二).分析2:第(1)问求得cosA=-后,不说明A∈(0,π),直接得出A=.分析3:第(2)问,采用方法一,利用不等式求最值时,不说明等号成立的条件.分析4:方法一中,在得到AC+AB≤2后直接下结论△ABC
周长的最大值为3+2,没有通过不等式进行推理说明.方法二中,在得到AB+AC+BC的表达式后,不确定角B的取值范围,直接得出最大值.满分答题高考原生态满分练2 三角函数与解三角形解(1)由题意并结合正弦定理可得BC2-AC2-AB2=AC·AB,2分由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA,∴cosA==-,3分∵A∈(0,π),∴A=4分(2)(方法一)由余弦定理及(1)得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=AC2+AB2+AC·AB=9,即(AC+AB)2-AC·AB=9.6分∵AC·AB(当且仅当AC=AB时取等号),7分∴9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-(AC+AB)2,9分∴0<AC+AB≤2(当且仅当AC=AB时取等号).11分∴△ABC的周长L=AC+AB+BC≤3+2故△ABC周长的最大值为3+212分(方法二)由正弦定理及(1)得=2,∴AB=2sinC,AC=2sinB,6分从而AB+AC+BC=2sinC+2sinB+3=2sin-B+2sinB+3=2sin+3.9分∵0<B<,<B+,10分因此当B+,即B=时,AB+AC+BC取最大值3+2,故△ABC周长的最大值为3+212分
