专题突破练3 基本初等函数、函数的应用一、单项选择题1.(2021·陕西西安月考)函数f(x)=的零点个数是( ) A.1B.2C.3D.42.(2021·福建泉州一模)已知a=,b=,c=,则( )A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b3.(2021·浙江绍兴二模)函数f(x)=logax+(a>1)的图象大致是( )4.(2021·湖北十堰期中)已知关于x的方程9x-2a·3x+4=0有一个大于2log32的实数根,则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.(4,+∞)5.(2021·山东潍坊二模)关于函数f(x)=其中a,b∈R,给出下列四个结论:甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f(x)=有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是( )A.甲B.乙C.丙D.丁6.(2021·湖南师大附中期末)已知函数f(x)=则方程(x-1)f(x)=1的所有实根之和为( )A.2B.3C.4D.17.(2021·福建厦门期末)已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)+mf(x)+=0有6个解,则实数m的取值范围为( )A.(-1,0)B.-1,-C.-1,-D.-,-二、多项选择题8.(2021·湖南益阳高三模拟)若4x-4y<5-x-5-y,则( )A.x<yB.y-3>x-3C.lg(y-x)>0D.y<3-x9.(2021·北京延庆模拟)同学们,你们是否注意到?自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应
用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f(x)=aex+be-x(其中a,b是非零常数,无理数e=2.71828…),对于函数f(x),下列说法正确的是( )A.如果a=b,那么函数f(x)为奇函数B.如果ab<0,那么f(x)为单调函数C.如果ab>0,那么函数f(x)没有零点D.如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为210.(2021·河北冀州中学高三月考)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有且仅有一个实数解,且幂函数g(x)=xa在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值可能是( )A.1B.C.2D.e三、填空题11.(2021·北京通州区一模)已知函数f(x)=(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),则常数t的一个取值为 . 12.(2021·山东济宁期末)已知函数f(x)=ex+x2+ln(x+a)与函数g(x)=ex+e-x+x2(x<0)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为 . 专题突破练3 基本初等函数、函数的应用1.B 解析:令f(x)==0,即x2-2x-1=0,解得x=1±,经检验x=1±是方程f(x)=0的解,故f(x)有两个零点.故选B.2.C 解析:a=,b=,则a>b,因为a-c=<0,所以a<c,所以b<a<c.故选C.3.A 解析:令g(x)=x+,由于a>1,所以g(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增,故f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增,对照题中选项中的图象,知A选项正确.4.C 解析:令t=3x,因为方程9x-2a·3x+4=0有一个大于2log32的实数根,即x>2log32,则t>=4,所以函数f(t)=t2-2at+4有一个大于4的零点,所以f(4)=42-8a+4<0,解得a>,即实数a的取值范围是故选C.5.B 解析:若甲是错误的结论,则由乙正确可得b=4,由丙正确得a=1,此时丁不正确,不符合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得b=6,由丙正确得a=1,此时丁也正确,符合题意;若丙或丁是错误的结论,则甲和乙不可能同时正确,不符合题意,故选B.6.A 解析:当x>1时,2-x<1,所以f(2-x)=-ln[2-(2-x)]=-lnx=-f(x),当x<1时,2-x>1,所以f(2-x)=ln(2-x)=-f(x),当x=1时,f(1)=0,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.显然x=1不是方程的根,当x≠1时,原方程可变为f(x)=,画出函数y=f(x)和y=的图象(如图所示).由图知,二者仅有两个公共点,设为点A(x1,y1),B(x2,y2),因为函数y=f(x)和y=的图象都关于点(1,0)对称,所以点A,B关于点(1,0)对称,所以=1,即x1+x2=2.故选A.7.D 解析:令f(x)=t,则原方程可化为t2+mt+=0,画出函数f(x)的图象(如图).
由图象可知,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+=0有6个解,则关于t的方程t2+mt+=0必须在区间0,上有两个不相等的实根,由二次方程根的分布得解得m∈-,-.故选D.8.AD 解析:设f(x)=4x-5-x,因为4x-4y<5-x-5-y可化为4x-5-x<4y-5-y,则f(x)<f(y),根据指数函数的性质,可得y=4x单调递增,y=5-x单调递减,因此f(x)=4x-5-x在R上单调递增,所以x<y,故A正确;由A项得x<y,当x=-2,y=-1时,(-1)-3=-1,(-2)-3=-,此时y-3<x-3,故B错误;由A项得x<y,当y=1,x=0时,lg(y-x)=0,故C错误;因为y=3-x=x在R上是减函数,由x<y,可得x>y,即y<3-x,故D正确.9.BC 解析:对A,当a=b时,f(x)=ae-x+aex,此时f(-x)=aex+ae-x=f(x),故f(x)为偶函数.故A错误.对B,当ab<0时,若a>0,b<0,则函数y=aex在其定义域上单调递增,函数y=在其定义域上也单调递增,故函数f(x)=aex+在其定义域上单调递增;若a<0,b>0,则函数y=aex在其定义域上单调递减,函数y=在其定义域上也单调递减,故函数f(x)=aex+在其定义域上单调递减.综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数.故B正确.对C,当a>0,b>0时,函数f(x)=aex+be-x≥2=2>0,当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-aex-be-x)≤-2=-2<0.综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点.故C正确.对D,由ab=1,得b=当a<0,b<0时,函数f(x)=--aex-e-x≤-2=-2;当a>0,b>0时,函数f(x)=aex+e-x≥2=2.故ab=1时,函数f(x)没有最小值.故D错误.10.AD 解析:当x≤0时,f(x)=xex,f'(x)=ex(x+1),当x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<0时,f'(x)>0,
所以f(x)=xex在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,最小值为f(-1)=-e-1,所以f(x)的图象如图所示,因为f(x)=a有且仅有一个实数解,即y=f(x)的图象与y=a有且只有一个交点,所以a∈[e,+∞)∪1,0,-,又因为g(x)=xa在(0,+∞)上单调递增,所以a>0,所以a∈[e,+∞)∪{1}.11.2(答案不唯一) 解析:由x2+2x=0可得x=0或x=-2,由lnx=0可得x=1,因为函数f(x)=(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),所以e>t≥1.所以t可取2.12.(-∞,e) 解析:由题意得,g(-x)=f(x)在区间(0,+∞)上有解,即e-x=ln(x+a)在区间(0,+∞)上有解,所以函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上有交点.如图,函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=lnx的图象左右平移得到的,当y=lnx的图象向左平移至使y=ln(x+a)的图象经过点(0,1)时,函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象交于点(0,1),将点(0,1)的坐标代入e-x=ln(x+a),有1=ln(0+a),得a=e,所以,若函数y=lnx的图象往左平移a个单位长度,且a≥e时,则函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上无交点.将函数y=lnx的图象向右平移时,函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上恒有交点.所以a<e,即a∈(-∞,e).
