【走向高考】（全国通用）2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题3基本初等函数（Ⅰ）一、选择题1．(文)(2022·江西文，4)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝( )A.B.C．1D．2[答案] A[解析] ∵f(－1)＝2－(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝4a＝1，∴a＝.(理)(2022·新课标Ⅱ理，5)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )A．3B．6C．9D．12[答案] C[解析] 考查分段函数．由已知得f(－2)＝1＋log24＝3，又log212>1，所以f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9，故选C.2．(2022·哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x的值是( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 设f(x)＝xα，则－＝(－2)α，∴α＝－3，∴f(x)＝x－3，由f(x)＝27得，x－3＝27，∴x＝.3．(文)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( )11\nA．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4[答案] C[解析] ∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R上是增函数，所以p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数为真命题，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数为假命题，故q1：p1∨p2为真命题，q2：p1∧p2是假命题，q3：(¬p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(¬p2)是真命题．故真命题是q1、q4，故选C.[点拨] 1.由指数函数的性质首先判断命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假．2．考查指、对函数的单调性是这一部分高考命题的主要考查方式之一．常常是判断单调性；已知单调性讨论参数值或取值范围；依据单调性比较数的大小等．(理)已知实数a、b，则“2a>2b”是“log2a>log2b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由y＝2x为增函数知，2a>2b⇔a>b；由y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数知，log2a>log2b⇔a>b>0，∴a>b⇒/a>b>0，但a>b>0⇒a>b，故选B.4．(文)(2022·湖南理，5)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数[答案] A[解析] 考查函数的性质．由得－1<x<1，∴f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称；又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，显然，f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.(理)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(－x)＝f(x)，f(－2)＝－3，数列{an}满足a1＝－1，且＝2×＋1，(其中Sn为{an}的前n项和)，则f(a5)＋f(a6)＝( )A．－3B．－2C．3D.211\n[答案] C[解析] ∵x∈R，f(－x)＝f(x)，且f(x)为奇函数，∴f(＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋3)＝f[＋(x＋)]＝－f(＋x)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝3.又a1＝－1，＝2×＋1，∴a2＝－3，a3＝－7，a4＝－11，a5＝－27，a6＝－55，∴f(a5)＝f(－27)＝f(0)＝0，f(a6)＝f(－55)＝－f(55)＝－f(1)＝－f(－2＋3)＝－f(－2)＝3，∴f(a5)＋f(a6)＝3.5．(2022·天津理，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a[答案] C[解析] 考查函数奇偶性及指数式、对数式的运算．因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，所以m＝0，即f(x)＝2|x|－1，所以a＝f(log0.53)＝f＝2－1＝2log23－1＝3－1＝2，b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(2m)＝f(0)＝20－1＝0，所以c<a<b，故选C.[方法点拨] 1.幂式、对数式等数值比较大小问题，利用同底数、同指数或同真数等借助于函数单调性或图象求解．2．指数函数与对数函数的图象与性质指数函数对数函数定义函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)叫指数函数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)叫对数函数值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)图象性质(1)y>0；(2)图象恒过点(0,1)；(1)x>0；(2)图象恒过点(1,0)；11\n(3)a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1；0<a<1，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1；(4)a>1，在R上y＝ax为增函数；0<a<1，在R上y＝ax为减函数(3)a>1，当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0；0<a<1，当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0；(4)a>1，在(0，＋∞)上y＝logax为增函数；0<a<1，在(0，＋∞)上y＝logax为减函数3.幂函数的性质函数特征性质y＝x，y＝x3y＝x2y＝xy＝x－1定义域RR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数非奇非偶奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增增x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0]时，减x∈(－∞，0)时，减定点(1,1)6.已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)＝axg(x)(a>0，且a≠1)，＋＝.若数列{}的前n项和大于62，则n的最小值为( )A．6B．7C．8D．9[答案] A[思路分析] 通过审题可以发现，题目中多处涉及的形式，x＝1时，即，11\nx＝－1时，即，x＝n时，即，又＝ax，故这是解题的切入点，构造函数F(x)＝，则问题迎刃而解．[解析] 令F(x)＝，则F(x)＝ax，F′(x)＝>0，∴F(x)单调递增，∴a>1.∵F(1)＋F(－1)＝＋＝＝a＋，∴a＝2，∴F(x)＝2x，{F(n)}的前n项和Sn＝21＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2>62，∴2n＋1>64，∴n＋1>6，∴n>5，∴n的最小值为6.7．下列函数图象中不正确的是( )[答案] D[解析] 由指数函数、对数函数的图象与性质知A、B正确，又C是B中函数图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，故C正确．∵y＝log2|x|＝是偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误．8．(文)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( )A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)[答案] D[解析] 由题意得，a>x－()x (x>0)，令f(x)＝x－()x，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)>f(0)＝－1，∴a>－1，故选D.11\n(理)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(logx)>0的解集是( )A．(0，)B．(2，＋∞)C．(0，)∪(2，＋∞)D．(，1)∪(2，＋∞)[答案] C[解析] 解法1：∵偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数，又f()＝0，∴f(－)＝0，由f(logx)>0得，logx>或logx<－，∴0<x<或x>2，故选C.解法2：∵f(x)为偶函数，∴f(logx)>0化为f(|logx|)>0，∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f()＝0，∴|logx|>，∴|log8x|>，∴log8x>或log8x<－，∴x>2或0<x<.[方法点拨] 1.讨论方程的解的范围或个数，讨论函数的零点(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数式等)，可构造函数，利用函数图象交点的讨论来求解，图象交点的个数就是方程解的个数，正确作出函数的图象是解决此类问题的关键，要注意图形的准确全面．2．解不等式问题经常联系函数的图象借助函数的单调性，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．3．函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．9．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x3＋x－2的零点分别为x1、x2、x3，则( )A．x3<x1<x2B．x1<x3<x211\nC．x2<x3<x1D．x1<x2<x3[答案] D[解析] x1＝－2x1<0，若x>1，则g(x)＝x＋lnx>1，∴0<x2<1，x3＝1，∴x1<x2<x3.10．(文)命题p：函数f(x)＝ax－2(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，－2)；命题q：函数f(x)＝lg|x|(x≠0)有两个零点．则下列说法正确的是( )A．“p或q”是真命题B．“p且q”是真命题C．¬p为假命题D．¬q为真命题[答案] A[解析] ∵f(0)＝a0－2＝－1，∴p为假命题；令lg|x|＝0得，|x|＝1，∴x＝±1，故q为真命题，∴p∨q为真，p∧q为假，¬p为真，¬q为假，故选A.(理)已知函数f(x)＝(其中a∈R)，函数g(x)＝f[f(x)]＋1.下列关于函数g(x)的零点个数的判断，正确的是( )A．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有2个零点，当a＝0时，有无数个零点B．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有3个零点，当a＝0时，有2个零点C．当a>0时，有2个零点；当a≤0时，有1个零点D．当a≠0时，有2个零点；当a＝0时，有1个零点[答案] A[解析] 取a＝1，令x＋＝－1得x＝－，令log2x＝－1得，x＝.令x＋＝－得x＝－2，令log2x＝－得x＝2－，令log2x＝得x＝，令x＋＝得x＝0，由此可排除C、D；令a＝0，得f(x)＝由log2x＝－1得x＝，由f(x)＝知，对任意x≤0，有f(x)＝，故a＝0时，g(x)有无数个零点．11．(文)(2022·中原名校第二次联考)函数y＝f(x＋)为定义在R上的偶函数，且当x≥时，f(x)＝()x＋sinx，则下列选项正确的是( )A．f(3)<f(1)<f(2)B．f(2)<f(1)<f(3)C．f(2)<f(3)<f(1)D．f(3)<f(2)<f(1)[答案] A[解析] 由条件知f(x)的图象关于直线x＝对称，11\n∴f(1)＝f(π－1)，当≤x≤时，f′(x)＝－()x·ln2＋cosx<0，∴f(x)在[，]上单调递减，∵<2<π－1<3<，∴f(2)>f(π－1)>f(3)，∴f(2)>f(1)>f(3)，故选A.(理)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0[答案] C[解析] 由题意得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，该函数图象开口向上，若x0为极小值点，如图，f′(x)的图象应为：故f(x)在区间(－∞，x0)不单调递减，C错，故选C.12．如图，过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C，若AC恰好平行于y轴，则点A的坐标为( )A．(log94,4)B．(log92,2)C．(log34,4)D．(log32,2)[答案] D[解析] 本题考查指数函数的图象与性质，难度中等．设A(x1,3x1)，B(x2,3x2)，则C(x1,3x2)在函数y＝9x的图象上，所以3x2＝9x1，所以x2＝2x1 ①.又O，A，B共线，所以＝ ②，①②联立解得x1＝log32，故点A的坐标为(log32,2)，故选D.11\n[易错分析] 本题易犯两个错误：一是不能将直线与指数函数图象相交于A，B两点转化为OA，OB的斜率相等；二是不能应用指数的运算法则求解．一般地，解指数方程时，将方程两边化为同底，或者利用指数式化为对数式的方法求解．二、填空题13．(文)已知函数f(x)＝在区间[－1，m]上的最大值是1，则m的取值范围是________．[答案] (－1,1][解析] ∵f(x)＝2－x－1＝()x－1在[－1,0]上为减函数，∴在[－1,0]上f(x)的最大值为f(－1)＝1，又f(x)＝x在[0，m]上为增函数，∴在[0，m]上f(x)的最大值为，∵f(x)在区间[－1，m]上的最大值为1，∴或－1<m≤0，∴－1<m≤1.(理)(2022·新乡、平顶山、许昌二调)已知g(x)＝－x2－4，f(x)为二次函数，满足f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝0，且f(x)在[－1,2]上的最大值为7，则f(x)＝________.[答案] f(x)＝x2－2x＋4或f(x)＝x2－x＋4[解析] 令F(x)＝f(x)＋g(x)，∴F(x)＋F(－x)＝0，∴F(x)为奇函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴F(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－4，∴a－1＝0，c－4＝0，即a＝1，c＝4，∴f(x)＝x2＋bx＋4，又∵f(x)在[－1,2]上的最大值为7，∴b＝－2或b＝－，∴f(x)＝x2－2x＋4或f(x)＝x2－x＋4.14．(文)已知x＋x－1＝3，则x－x－＝________.[答案] ±1[解析] (x－x－)2＝(x)2－2x·x－＋(x－)2＝x＋x－1－2＝3－2＝1，∴x－x－＝±1.(理)计算(lg－lg25)÷100－＝________.[答案] －20[解析] 原式＝lg0.01÷100－11\n＝－2×10＝－20.15．已知函数f(x)＝若f(m)>1，则m的取值范围是________．[答案] (－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 当m>0时，由f(m)>1得，log3(m＋1)>1，∴m＋1>3，∴m>2；当m≤0时，由f(m)>1得，3－m>1.∴－m>0，∴m<0.综上知m<0或m>2.16．(文)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．[答案] (0,1)[解析] 函数f(x)的图象如图所示：当0<m<1时，直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点．(理)若不等式＋＋…＋>a－7对一切正整数n都成立，则正整数a的最大值为________．[分析] 要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式＋＋…＋的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解．[解析] 令f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，对任意的n∈N*，f(n＋1)－f(n)＝＋＋－＝>0，所以f(n)在N*上是增函数．又f(1)＝，对一切正整数n，f(n)>a－7都成立的充要条件是>a－7，所以a<，故所求正整数a的最大值是8.11\n[点拨] 本题是构造函数法解题的很好的例证．如果对数列求和，那就会误入歧途．本题构造函数f(n)，通过单调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题．利用函数思想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路灵活变通.11
