§3.5 对数与对数函数基础篇【基础集训】考点 对数与对数函数1.已知函数f(x)=则f(f(1))+f的值是( )A.5 B.3 C.-1 D.答案 A2.函数f(x)=xa满足f(2)=4,那么函数g(x)=|loga(x+1)|的图象大致为( )答案 C3.已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+)在区间(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga||x|-b|的图象是( )答案 A4.化简:= .
答案 5.设2x=5y=m,且+=2,则m= . 答案 6.已知对数函数f(x)的图象过点(4,1).(1)求f(x)的解析式;(2)若实数m满足f(2m-1)<f(5-m),求实数m的取值范围.[教师专用题组]【基础集训】考点 对数与对数函数1.(2020课标Ⅰ文,8,5分)设alog34=2,则4-a=( )A. B.C. D.答案 B ∵alog34=2,∴a=2log43=log23,∴4-a====,故选B.2.(2017课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则( )A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案 C 函数f(x)=lnx+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中0<x<2,则函数f(x)由f(t)=lnt,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x∈(0,1)时,f(x)单调递增,x∈(1,2)时,f(x)单调递减,故A、B选项错误;t(x)
的图象关于直线x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C选项正确,D选项错误.故选C.3.(2018重庆高考仿真模拟,5)已知函数f(x)=ln(-x2-2x+3),则f(x)的增区间为( )A.(-∞,-1) B.(-3,-1)C.[-1,+∞) D.[-1,1)答案 B 由-x2-2x+3>0,解得-3<x<1,即f(x)的定义域为(-3,1).易知y=-x2-2x+3在(-3,-1)上递增,在(-1,1)上递减,由y=lnx递增,根据复合函数同增异减的原则,得f(x)在(-3,-1)上递增,故选B.4.(2017浙江名校协作体,11)已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则xy的最大值是 . 答案 解析 由lg2x+lg8y=lg2,知x+3y=1,∴1≥2,故xy≤,当且仅当时,取等号.5.(2017江苏如东高级中学第二次学情调研)函数f(x)=的定义域为 . 答案 (-∞,2)∪(2,3)解析 由题设可得解之得x<3且x≠2,所以答案为(-∞,2)∪(2,3).综合篇【综合集训】考法一 对数式大小的比较方法1.(2020普通高等学校招生全国统一考试考前演练)若a=,b=log23,c=log46,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a答案 B
2.(2020湖南长沙明德中学3月月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x3+3x,则a=f(),b=f,c=f()的大小关系为( )A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a答案 C考法二 对数函数的图象与性质的应用3.(2021届江苏盐城摸底,5)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域为[4,+∞),则实数a的取值范围是( )A.(1,2] B.(0,2] C.[2,+∞) D.(1,2]答案 A4.(2021届重庆巴蜀中学高考适应性月考,9)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x+2),且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+,则f(log218)=( )A.-1 B.- C.1 D.答案 C5.(2021届浙江“山水联盟”开学考,11)已知函数f(x)=则f= ;若f(x)=,则x= . 答案 -;6.(2020江苏启东中学检测,14)函数f(x)=ln(x2-2x-3)的单调递减区间为 .
答案 (-∞,-1)[教师专用题组]【综合集训】考法一 对数式大小的比较方法1.(2018天津文,5,5分)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b答案 D 本题主要考查指数、对数式的大小比较.b=<=1,a=log3>log33=1,c=lo=log35>log3=a,∴c>a>b.故选D.2.(2019北京西城期末,6)设M>0,N>0,0<a<1,则“logaM>logaN”是“M<N+1”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 当0<a<1时,y=logax为减函数,又logaM>logaN,所以0<M<N,可得M<N+1,即“logaM>logaN”是“M<N+1”的充分条件,由“M<N+1”不能推出“M<N”,故由“M<N+1”不能推出“logaM>logaN”,即“logaM>logaN”是“M<N+1”的不必要条件,即“logaM>logaN”是“M<N+1”的充分而不必要条件,故选A.小题巧解 本题充分性容易判断,判断必要性时,作为选择题可以采用特殊值法,不妨令M=1,N=1,即可得到必要性不成立.
3.若log2(log3a)=log3(log4b)=log4(log2c)=1,则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a答案 D ∵log2(log3a)=log3(log4b)=log4(log2c)=1,∴log3a=2,log4b=3,log2c=4,∴a=9,b=64,c=16,∴b>c>a.4.a,b,c∈R+且2a=3b=6c,记x=2a,y=3b,z=6c,则x,y,z的大小关系为 . 答案 y<x<z解析 设2a=3b=6c=k,∵a,b,c∈R+,∴k>1,则a=,b=,c=.∴x=2a=,y=3b=,z=6c=.∵0<lg<lg=lg<lg=lg,∴y<x<z.考法二 对数函数的图象与性质的应用1.设函数f(x)=lo(x2+1)+,则不等式f(log2x)+f(lox)≥2的解集为( )A.(0,2] B.C.[2,+∞) D.∪[2,+∞)答案 B ∵f(x)的定义域为R,f(-x)=lo(x2+1)+=f(x),∴f(x)为R上的偶函数.令t=log2x,∴lox=-t,则不等式f(log2x)+f(lox)≥2可化为f(t)+f(-t)≥2,
即2f(t)≥2,∴f(t)≥1.又∵f(1)=lo2+=1,f(x)在[0,+∞)上单调递减,在R上为偶函数,∴-1≤t≤1,即log2x∈[-1,1],∴x∈,故选B.2.(2019北京四中期中文,7)已知函数f(x)=若∃x0∈R,使得f(x0)≤5m-4m2成立,则实数m的取值范围为( )A. B. C. D.答案 B 函数f(x)=当x≤2时,函数是二次函数的一部分,二次函数图象的对称轴为x=1,函数的最小值为1,当x>2时,y=log2x>1,若∃x0∈R,使得f(x0)≤5m-4m2成立,则1≤5m-4m2,解得m∈.所以B选项是正确的.评析 不等式的恒成立问题转化为求分段函数的最小值问题,然后求解不等式即可.3.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,15)定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度等于x2-x1.函数y=|logax|(a>1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1].若区间[m,n]的长度的最小值为,则实数a的值为 . 答案 4解析 作出函数y=|logax|的图象(图略),要使定义域区间[m,n]的长度最小,则[m,n]=或[m,n]=[1,a].若1-=,则a=4,此时a-1=3,符合题意.若a-1=,则a=,此时1-=<,不符合题意,所以a=4.4.(2018江苏常熟上学期期中,10)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域为[6,+∞),
则实数a的取值范围是 . 答案 (1,2]解析 当x≤2时,-x+8≥6恒成立,即x≤-2,要满足函数f(x)的值域为[6,+∞),需有logax+5≥6在(2,+∞)上恒成立,则解得1<a≤2.故实数a的取值范围为1<a≤2.5.(2018浙江嘉兴高三期末,13)已知函数f(x)=log4(4-|x|),则f(x)的单调递增区间是 ;f(0)+4f(2)= . 答案 (-4,0);3解析 由4-|x|>0,解得函数f(x)的定义域为(-4,4).f(x)=故f(x)在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减.由于f(0)=log44=1,f(2)=log42=×log22=,故f(0)+4f(2)=1+=3.
