§9.4 双曲线基础篇【基础集训】考点一 双曲线的定义及标准方程1.若m为实数,则“1<m<2”是“曲线C:+=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1答案 D3.若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的( )A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等答案 D4.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为 . 答案 325.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.考点二 双曲线的几何性质6.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于( )A.2 B.2 C.4 D.4答案 C7.已知点P为双曲线C:-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为C的左,右焦点,直线PF1与C的一条渐近线垂直,垂足为H,若|PF1|=4|HF1|,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.答案 C8.(多选题)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为-=1的是( )A.离心率为 B.双曲线过点C.渐近线方程为3x±4y=0 D.实轴长为4答案 ABC9.已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 . 答案 2
[教师专用题组]【基础集训】考点一 双曲线的定义及标准方程1.(2018广东肇庆二模,4)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(4,0),且双曲线的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1或-=1答案 A 由双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(4,0),可得c=4,即有a2+b2=c2=16,由双曲线的两条渐近线互相垂直,即直线y=x和直线y=-x垂直,可得a=b,则a=b=2,则该双曲线的方程为-=1.故选A.2.(2019北京延庆一模,2)“0<k<1”是“方程-=1表示双曲线”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 D -=1表示双曲线⇔(k-1)·(k+2)>0⇔k<-2或k>1,所以“0<k<1”是“方程-=1表示双曲线”的既不充分也不必要条件,故选D.3.已知平面内两定点F1(-2,0),F2(2,0),下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是( )A.|PF1|-|PF2|=±3 B.|PF1|-|PF2|=±4C.|PF1|-|PF2|=±5 D.-=±4答案 A 当|PF1|-|PF2|=±3时,||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4,满足双曲线的定义,所以动点P的轨迹是双曲线.故选A.4.(2018北京延庆一模,9)设双曲线-y2=1的焦点为F1,F2,P为双曲线上的一点,若|PF1|=3,则|PF2|= . 答案 7解析 由双曲线的定义可得||PF2|-|PF1||=4,所以|PF2|-|PF1|=±4,所以|PF2|=7(负值舍去).5.(2020河南焦作期初定位考试,15)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为右支上一点且直线PF2与x轴垂直,若|PF1|=2|PF2|,则△PF1F2的面积为 . 答案 8解析 由双曲线-=1知a2=4,即a=2,由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a=4①,又|PF1|=2|PF2|②,由①②得|PF1|=8,|PF2|=4,又PF2⊥F1F2,∴|F1F2|2=|PF1|2-|PF2|2=64-16=48,∴|F1F2|=4,∴=×|F1F2|×|PF2|=×4×4=8.考点二 双曲线的几何性质1.(2019福建莆田一中9月月考,11)已知椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两条曲线的一个公共点,且PF1⊥PF2,e1,e2分别是两曲线C1,C2的离心率,则9+的最小值是( )A.4 B.6 C.8 D.16答案 C 由题意设焦距为2c.椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,取椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,由椭圆和双曲线定义分别有|PF1|+|PF2|=2a1,①|PF1|-|PF2|=2a2,②
∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=4c2,③①2+②2,得|PF1|2+|PF2|2=2+2,④将④代入③得+=2c2,则9+=+=5++≥8(当且仅当=3时取“=”),故9+的最小值为8.思路分析 由题意设焦距为2c.椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,由已知条件结合椭圆与双曲线的定义推出+=2c2,从而得出9+的最小值.2.(2018天津九校联考,5)设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内分别交于A、B两点,若|F1B|=3|F2A|,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.2答案 C 根据已知可得,|F1B|=|F1A|=3|F2A|,又∵|F1A|-|F2A|=2a,∴2|F2A|=2a,即|F2A|=a,|F1A|=3a,又∵|F1A|=|F1F2|=2c,∴2c=3a,∴e==.3.(2020北京清华大学中学生标准学术能力11月测试,10)已知F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C.(1,) D.(,+∞)答案 B 本题考查双曲线的离心率、点到直线的距离,通过双曲线的几何性质考查学生运用化归与转化、数形结合的思想方法解决问题的能力,渗透数学运算与直观想象的核心素养.不妨设点P在第一象限,过点F2作F2A⊥PF1,则|AF1|==,∴直线PF1的斜率=tan∠AF1F2=,双曲线的一条渐近线的斜率为,则有<,即4c2-5a2>0,从而e2=>,因此离心率e>,因而离心率e的取值范围是.综合篇【综合集训】考法一 求双曲线方程的方法1.(2020山东济南6月模拟,6)已知双曲线C的方程为-=1,则下列说法错误的是( )A.双曲线C的实轴长为8B.双曲线C的渐近线方程为y=±xC.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为答案 D2.(2020山东青岛二模,7)已知曲线C的方程为-=1(k∈R),则下列结论正确的是( )A.当k=8时,曲线C为椭圆,其焦距为4+B.当k=2时,曲线C为双曲线,其离心率为C.存在实数k,使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线D.当k=3时,曲线C为双曲线,其渐近线与圆(x-4)2+y2=9相切答案 B3.(2020河北正定中学第三次阶段质量检测,9)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点,若△ABF1是等腰三角形,且∠A=120°,则△ABF1的周长为( )A.+8 B.4(-1)C.+8 D.2(-2)
答案 A4.(2020山东德州6月二模,13)已知双曲线C过点(2,-1),且与双曲线-=1有相同的渐近线,则双曲线C的标准方程为 . 答案 -=1考法二 求双曲线的离心率(或取值范围)的方法5.(2020湖南长沙明德中学月考,10)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线与双曲线C交于A,B两点,若∠AF2B=60°,△ABF2的面积为a2,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.答案 C6.(2020湖北襄阳四中3月月考,12)已知离心率为2的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线y=(x+c)与双曲线C在第一象限的交点为P,∠PF1F2的平分线与PF2交于点Q,若|PF2|=λ|PQ|,则λ的值是( )A. B. C. D.答案 B7.(多选题)(2020山东滨州二模,10)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则下列关于该双曲线的结论正确的是( )A.渐近线方程为4x±3y=0 B.渐近线方程为3x±4y=0C.离心率为 D.离心率为答案 AC8.(2019福建福州3月联考,10)如图,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线与C的渐近线交于P点,若等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为( )A. B. C. D.答案 C9.(2020山东济南二模,16)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1向一条渐近线作垂线,交双曲线右支于点P,直线F2P与y轴交于点Q(P,Q在x轴同侧),连接QF1,若△PQF1的内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上,则∠F1PF2的大小为 ,双曲线的离心率为 . 答案 90°;[教师专用题组]【综合集训】考法一 求双曲线方程的方法1.(2019贵州黔东南州一模,9)双曲线M与双曲线N:-=1有共同的渐近线,且M经过抛物线y=-x2-4x的顶点,则M的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1
答案 B 依题意可设M的方程为-=λ(λ≠0),抛物线y=-x2-4x=-(x+2)2+4的顶点为(-2,4),将(-2,4)代入M的方程,得λ=2,则M的方程为-=1.2.(2018黑龙江仿真模拟(三),8)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,一个焦点坐标为(2,0),则双曲线C的方程为( )A.-=1 B.-=1C.x2-=1 D.-y2=1答案 C 双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,可得=,它的一个焦点坐标为(2,0),可得c=2,即a2+b2=4,∴a=1,b=,所求双曲线方程为x2-=1.故选C.3.(2019宁夏石嘴山三中一模,10)已知F1,F2分别为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点.过右焦点F2的直线l:x+y=c在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P,与y轴正半轴交于点Q,且点P为QF2的中点,△QF1F2的面积为4,则双曲线E的方程为( )A.-y2=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1答案 B 双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,代入直线x+y=c,可得P,且Q(0,c),F2(c,0),由点P为QF2的中点,可得c==,可得a=b,△QF1F2的面积为4,即·2c·c=4,解得c=2,故a=b=,则双曲线的方程为-=1.故选B.考法二 求双曲线离心率(或取值范围)的方法1.(2018天津一模,7)设P为双曲线C:-=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2分别为双曲线C的左,右焦点,PF2⊥F1F2,若△PF1F2的外接圆半径是其内切圆半径的倍,则双曲线C的离心率为( )A.2 B.4 C.2或3 D.4或答案 D 设F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0),由PF2⊥F1F2,可得P的横坐标为c,将x=c代入双曲线的方程,可得y=±,则有|PF2|=,在直角三角形PF2F1中,由勾股定理得|PF1|====,设△PF1F2的外接圆半径为R,内切圆半径为r,可得2R=,r=·2c·,解得r=c-a,则(c-a)=·,化为3c2-17ac+20a2=0,即为(3c-5a)(c-4a)=0,即有3c=5a或c=4a,
则e==或4.故选D.2.(2020浙江温州二模(4月),7)已知双曲线-=1(a>0,b>0),其右焦点F的坐标为(c,0),点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点,O为坐标原点,满足|OA|=,线段AF交双曲线于点M,若M为AF的中点,则双曲线的离心率为( )A. B.2 C. D.答案 C 本题考查了双曲线的离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.双曲线的一条渐近线方程为y=x,因为A是第一象限内双曲线渐近线上的一点,且|OA|=,所以A,而F(c,0),M为AF的中点,所以M,将M的坐标代入双曲线方程并化简可知=1,所以e=,故选C.一题多解 同上可求得A,直接利用通径处理,=,所以c=2b,所以a==b,从而离心率e==,故选C.3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),8)已知双曲线右支上存在点P使得∠PAF=,PA=AF,其中A是双曲线的右顶点,F是左焦点,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2-2 D.+1答案 C 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).则根据题意得点P,则有-=1,化简得e3+5e2-4e-8=0⇒e=2-2.
