§3.7 函数与方程基础篇【基础集训】考点 函数的零点与方程的根1.设f(x)=lnx+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案 B2.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是( )A.1<x1<2,x1+x2<2 B.1<x1<2,x1+x2<1C.x1>1,x1+x2<2 D.x1>1,x1+x2<1答案 A3.已知函数f(x)=F(x)=f(x)-x-1,且函数F(x)有2个零点,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,0] B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(0,+∞)答案 C4.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(1-x)-1的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C
[教师专用题组]【基础集训】考点 函数的零点与方程的根1.(2020重庆模拟,3)函数f(x)=-x的零点位于区间( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案 B 本题考查函数零点存在性定理的运用,体现了逻辑推理能力.考查的核心素养是数学运算.函数f(x)在R上为减函数,其图象为一条不间断的曲线.∵f(1)=-=>0,f(2)=-=-<0,∴f(1)·f(2)<0,∴由零点存在性定理可知,函数f(x)的零点位于区间(1,2).故选B.2.已知函数f(x)=-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值( )A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不大于零答案 A f(x)=-log3x在(0,+∞)内单调递减,若f(x0)=0,则当x0<x1时,一定有f(x1)<0,故选A.3.(2017湖南衡阳八中、长郡中学等十三校一模,4)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=lnx-的零点,则g(x0)等于( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3->0,故x0∈(2,3),∴g(x0)=[x0]=2.故选B.4.(2017湖南衡阳八中一模,11)设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )
A. B. C. D.答案 B 函数f(x)=的图象如图,不妨设x1<x2<x3,则x2,x3关于直线x=3对称,且-<x1<0,故x2+x3=6,则x1+x2+x3的取值范围是-+6<x1+x2+x3<0+6,即x1+x2+x3∈.故选D.5.(2018湖南永州第三次模拟,10)已知函数f(x)=a+log2(x2+a)(a>0)的最小值为8,则( )A.a∈(5,6) B.a∈(7,8)C.a∈(8,9) D.a∈(9,10)答案 A 由题意得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=a+log2a=8,将问题转化为a+log2a=8有解,求a的范围.令g(a)=a+log2a-8,a>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(5)=5+log25-8<0,g(6)=6+log26-8>0,所以根据零点存在性定理知a∈(5,6).故选A.解题点拨 根据复合函数的单调性,得到f(x)min=f(0);将问题转化为a+log2a=8有解,求a的范围.令g(a)=a+log2a-8,a>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,根据零点存在性定理,得到答案.6.(2020北京门头沟一模,7)已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实数根,则实数a的取值范围是( )
A.[0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,1]答案 B 本题考查分段函数与方程的根,考查学生灵活运用函数的图象与性质解决问题的能力,考查学生运用数形结合的思想方法分析问题的能力,渗透直观想象的核心素养,体现数学的综合性.关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实数根就是函数y=f(x)的图象与直线y=-x+a只有一个交点,如图所示,当a>1时,满足题意,故选B.7.(2020四川南充模拟,9)设函数f(x)=若方程f(x)=a有且只有一个实根,则实数a满足( )A.a<0 B.0≤a<1 C.a=1 D.a>1答案 C 关于x的方程f(x)=a有且只有一个实根⇔y=f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,画出函数的图象如图,观察函数的图象可知当a=1时,y=f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,故选C.8.已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是 . 答案 5解析 由2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1.作出函数y=f(x)的图象(如图).
由图象知直线y=与y=f(x)的图象有2个交点,直线y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点有5个.9.(2017山东枣庄4月模拟,12)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是 . 答案 (0,1)解析 f(x)==画出f(x)的图象如图,由函数g(x)=f(x)-m有3个零点,知f(x)=m有三个根,所以实数m的取值范围是(0,1).10.(2020湖南长沙第一中学4月第七次大联考)设函数f(x)=函数g(x)=[f(x)]2-mf(x)+2,若函数g(x)恰有4个零点,则整数m的最小取值为 . 答案 4解析 令y=,x>0,则y'=,据此可得f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,当x=e时,f(x)取得极大值,为f(e)=1.作出f(x)的大致图象,如图.令f(x)=t,则原问题等价于t2-mt+2=0有两
个不相等的实数根,设为t1,t2,且t1∈(0,1),t2=∈(2,+∞),故m=t1+∈(3,+∞),故m的最小整数值为4.综合篇【综合集训】考法一 函数零点的个数及所在区间的判断方法1.(2019河北石家庄模拟,5)f(x)=ex-x-2在下列哪个区间必有零点( )A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)答案 C2.(多选题)(2021届山东枣庄三中第一次月考(9月))已知函数f(x)=下列是函数y=f(|f(x)|)+1的零点个数的4个判断,其中正确的是( )A.当k>0时,有3个零点 B.当k<0时,有2个零点C.当k>0时,有4个零点 D.当k<0时,有1个零点答案 CD3.(2020宁夏银川一中第一次月考,5)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( )A.y=lox B.y=3x-1 C.y=x2- D.y=-x3答案 B4.(多选题)(2021届江苏扬州邗江蒋王中学第一次质量检测,12)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=ex(x+1),则下列命题正确的是( )A.当x>0时,f(x)=-e-x(x-1)
B.函数f(x)有3个零点C.f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)D.∀x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2答案 BC考法二 函数零点性质的应用5.(2021届重庆巴蜀中学高考适应性月考(一),12)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-mx-m+有4个零点,则实数m的取值范围是( )A. B. C. D.答案 B6.(2020江苏如皋中学第一学期阶段检测,18)已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x>0时,f(x)=g(x)=f(x)-a.(1)若函数g(x)恰有三个不相同的零点,求实数a的值;(2)记h(a)为函数g(x)的所有零点之和.当-1<a<1时,求h(a)的取值范围.[教师专用题组]【综合集训】考法一 函数零点的个数及所在区间的判断方法1.(2017陕西渭南二模)函数f(x)=lnx-的零点所在的区间是( )A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)答案 B 由题意可知函数f(x)是定义在(0,1)∪(1,+∞)上的增函数,又注意到f(2)=ln2-2<0和
f(3)=ln3-1>0,所以f(2)f(3)<0,根据零点存在性定理,知函数f(x)=lnx-在区间(2,3)上必存在零点.故选B.2.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))的零点所在区间为( )A. B.(-1,0)C. D.(4,5)答案 A 本题考查分段函数、复合函数的零点所在区间.当x≤0时,3<f(x)≤4;当x>0时,f(x)=2x+log9x2-9=2x+log3x-9为增函数,且f(3)=0,则x=3是唯一的零点,所以令f(f(x))=0,得f(x)=2x+log3x-9=3,因为f(3)=0<3,f=8+log3-9>8×1.414+log33-9=3.312>3,所以函数y=f(f(x))的零点所在区间为.故选A.3.(2019湖南娄底二模,9)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xlnx=1的解,则x1x2等于( )A.1 B.-1 C.e D.答案 A 考虑到x1,x2是函数y=ex、函数y=lnx分别与函数y=的图象的公共点A,B的横坐标,而A,B两点关于直线y=x对称,因此x1x2=1.故选A.解题关键 本题考查函数与方程的综合问题,正确转化是解题的关键,将方程xex=1的解、方程xlnx=1的解转化为函数y=ex、函数y=lnx分别与函数y=的图象的公共点A,B的横坐标来求解.4.(2018百校联盟TOP20三月联考,16)已知函数f(x)=x|x-4|+2x,存在x3>x2>x1≥0,使得f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1x2·f(x3)的取值范围是 . 答案 (64,81)
解析 f(x)=x|x-4|+2x=作出f(x)的图象如图,由图象可知,x1+x2=6,且2<x1<3,∴x1x2f(x3)=x1(6-x1)f(x1)=x1(6-x1)(-+6x1)=(-+6x1)2=[-(x1-3)2+9]2,∵2<x1<3,∴-(x1-3)2+9∈(8,9),∴x1x2f(x3)∈(64,81).考法二 函数零点性质的应用1.(2020黑龙江哈尔滨六中期末)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-cosπx在[-2,4]上的所有零点之和为( )A.2 B.4 C.6 D.8答案 C 本题考查函数零点之和.函数g(x)=f(x)-cosπx的零点即方程f(x)-cosπx=0的根,也就是函数y=f(x)与y=cosπx图象交点的横坐标.由f(x+2)=f(x),可得函数f(x)的周期为2,又f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,作出函数y=f(x)与y=cosπx的部分图象如图,由图可知,函数g(x)=f(x)-cosπx在区间[-2,4]上的所有零点之和为(-1)×2+1×2+3×2=6.故选C.方法总结 利用函数的图象解决方程的根的问题的思路:当方程与我们熟悉的函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.
2.(2017安徽马鞍山一模,12)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+(a-1)f(x)-a=0有7个不等的实数根,则实数a的取值范围是( )A.[1,2] B.(1,2) C.(-2,-1) D.[-2,-1]答案 C 函数f(x)=的图象如图:关于x的方程[f(x)]2+(a-1)f(x)-a=0有7个不等的实数根,即[f(x)+a][f(x)-1]=0有7个不等的实数根,易知f(x)=1有3个不等的实数根,∴f(x)=-a必须有4个不相等的实数根,由函数f(x)的图象可知-a∈(1,2),∴a∈(-2,-1).故选C.3.(2019河北衡水第十三中学质检(四),12)已知函数f(x)=若存在实数x1,x2,x3,x4,当x1<x2<x3<x4时,满足f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则x1x2x3x4的取值范围是( )A. B. C. D.[27,30)答案 C 作函数f(x)的图象如图,则x1x2=1,x3+x4=12,x3∈(3,4.5),因此x1x2x3x4=x3(12-x3),因为y=x(12-x)在(3,4.5)上单调递增,所以y∈,即x1x2x3x4的取值范围是.选C.
4.(2017陕西榆林一模,14)直线y=x与函数f(x)=的图象恰有三个公共点,则实数m的取值范围是 . 答案 -1≤m<2解析 根据题意,知y=x与y=2(x>m)的图象有一个交点A(2,2),并且与抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分有两个交点B、C,由解得B(-1,-1),C(-2,-2),∵抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分必须包含B、C两点,且点A(2,2)一定在y=2(x>m)的图象上,才能使y=f(x)的图象与直线y=x有3个交点,∴实数m的取值范围是-1≤m<2.5.(2018吉林长春十一高中、东北师大附中等五校联合模拟)函数f(x)满足对任意x∈R,都有f(x+2)=-f(-x),且f(x)=g(x)=-x+,则函数h(x)=f(x)-g(x)在(-1,3)上的零点之和是 . 答案 5解析 ∵f(x+2)=-f(-x),∴f(1)=0,易知在区间(-1,3)上,函数f(x)的图象和直线g(x)=-x+都关于点(1,0)中心对称,且直线g(x)=-x+和曲线f(x)在区间(-1,3)上有五个交点,根据点的对称性得到h(x)在(-1,3)上的零点之和为4+1=5.
