专题19与圆有关的角阅读与思考与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，则△CDE的面积为___________.（海南省竞赛题）例1题图例2题图解题思路：作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的长.由AB为⊙O的直径作出相关辅助线.【例2】如图，△ABC内接于⊙O，M是的中点，AM交BC于点D，若AD＝3，DM＝1，则MB的长是（）A．4B．2C．3D．解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.\n【例3】如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上.(1)证明：B，C，E三点共线；(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝OM；(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D1CE1(如图2).若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.图1图2【例4】如图所示，ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠DAC.求证：(1)△ABE∽△ACD；(2)AB·DC＋AD·BC＝AC·BD.（陕西省竞赛试题）解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路.【例5】如图1，已知⊙M与x轴交于点A，D，与y轴正半轴交于点B，C是⊙M上一点，且A（－2,0），B（0，4），AB＝BC.(1)求圆心M的坐标；(2)求四边形ABCD的面积；(3)如图2，过C点作弦CF交BD于点E，当BC＝BE时，求CF的长.解题思路：作出基本辅助线（如连接BM或AC），这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由BC＝BE，得∠BEC＝∠BCE，连接AC，将与圆无关的∠BEC转化为与圆有关角，导出CF平分∠ACD，这是解题的关键.\n【例6】如图，AB，AC，AD是⊙O中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE.求证：(1)∠CAD＝2∠DBE；(2)AD2－AB2＝BD·DC.（浙江省竞赛试题）解题思路：对于（2），AD2－AB2＝(AD＋AB)(AD－AB)＝(AD＋AE)(AD－AE)＝(AD＋AE)·DE，需证(AD＋AE)·DE＝BD·DC，从构造相似三角形入手.能力训练A级1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP＝x，则x的取值范围是________.2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长为________.3.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P.连接AD，BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为________.4.如图，圆内接四边形ABCD中的两条对角线相交于点P，已知AB＝BC，CD＝BD＝1.设AD＝x，用x的代数式表示PA与PC的积：PA·PC＝__________.（宁波市中考试题）5.如图，ADBC是⊙O的内接四边形，AB为直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝()A．50B．32C．5D．4第4题图第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正确结论的个数是()\nA．1个B．2个C．3个D．4个（哈尔滨市中考试题）7.如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB＋PC；②；③PA·PE＝PB·PC.其中正确结论的个数是()（天津市中考试题）A．3个B．2个C．1个D．0个8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC交于点M，延长AB，DC交于点N，∠M＝20°，∠N＝40°，则∠A的大小为（）A．35°B．60°C．65°D．70°第7题图第8题图第9题图9.如图，已知⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝CD，AC交BD于点E.求证：(1)；(2)AD·CD－AE·EC＝DE2；（扬州市中考试题）10.如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，且AB2＝AE•AC，BD＝8，求△ABD的面积.（黑龙江省中考试题）\n11.如图，已知⊙O的内接△ABC中，AB＋AC＝12，AD⊥BC于D，AD＝3.设⊙O的半径为y，AB的长为x.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当AB的长等于多少时，⊙O的面积最大？并求出⊙O的最大面积.（南京市中考试题）12.如图，已知半圆⊙O的直径AB＝4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上.当三角板绕着O点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C，D两点，连接AD，BC交于点E.(1)求证：△ACE∽△BDE；(2)求证：BD＝DE；(3)设BD＝x，求△AEC的面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（广东省中考试题）B级1.如图，△ABC内接于直径为d的圆，设BC＝a，AC＝b，那么△ABC的高CD＝__________.2.如图，在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴相交于点A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝__________.第1题图第2题图第3题图3.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，设∠COD＝α，则＝________.（江苏省竞赛试题）4.如图，已知圆内接四边形ABCD中，AD≠AB，∠DAB＝90°，对角线AC平分∠DAB.若AD＝a，AB\n＝b，则AC＝___________.（“东亚杯”竞赛试题）5.如图，ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB＝5，PC＝4，分别延长AB和DC，它们相交于点P，若∠APD＝60°，则⊙O的面积为（）A．25π B．16π C．15π D．13π6.如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）A．k倍 B．2k倍 C．3k倍 D．以上答案都不对第4题图第5题图第6题图7.如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，AB＝AC，过A，D两点的圆与AB，AC分别相交于E，F，弦EF与AD相交于点G，则图中与△GDE相似的三角形的个数为()A．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以下四个结论：①∠A＝45°；②AC＝AB；③；④CE·AB＝2BD2.其中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．②④D．③④（苏州市中考试题）第7题图第8题图第9题图9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC边上一点，若AE∥BC,AE＝EC＝7，AB＝6.(1)求AD的长；(2)求BE的长.（绍兴市竞赛题）\n10.如图1，已知M（，），以M为圆心，MO为半径的⊙M分别交x轴，y轴于B，A.(1)求A，B两点的坐标;(2)C是上一点，若BC＝，试判断四边形ACOM是何种特殊四边形，并说明理由;(3)如图2，在(2)的条件下，P是上一动点，连接PA，PB，PC.当P在上运动时，求证：的值是定值.11.如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB，AD于点F，E.(1)求证：DE＝AF；(2)若⊙O的半径为，AB＝＋1，求的值.（江苏省竞赛题）\n专题19与圆有关的角例1连结AE，BD，则AE⊥BC，BD⊥AC，CE＝BE＝1，AE＝2.由AE·BC＝AC·BD，得BD＝，CD＝，又＝，得DF＝，故S△CDE＝CE·DF＝×1×＝.例2B提示：BM2＝MD·MA.例3⑴略.⑵如图，连结ON，AE，BD，并延长BD交AE于点F，可证明△BCD≌△ACE，BF⊥AE，∴ONBD，OMAE，∴OM＝ON，OM⊥ON，故MN＝OM.⑶结论成立，证明略.例4提示：由△ABE∽△ACD，△ADE∽△ACB分别得AB·DC＝AC·BE，AD·BC＝AC·DE，两式作加法得AB·DC＋AD·BC＝AC·BD.例5⑴连结BM，OA＝2，OB＝4，在Rt△BOM中，(r－2)2＋42＝r2，∴r＝5，即AM＝5，OM＝3，∴M(3，0).⑵连结AC交BM于G，则BM⊥AC且AG＝CG，可证△AMG≌△BMO.∴AG＝OB＝4，AC＝8，OM＝MG＝3，BG＝BM－GM＝2，AD＝10，CD＝6.∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝AC·CD＋AC·BG＝×8×6＋×8×2＝32.⑶∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC.又∠BCE＝∠BCA＋∠ACF，∠BEC＝∠BDC＋∠DCF，且∠BCA＝∠BDC，∴∠ACF＝∠DCF＝∠ACD＝45°，∴△ADF为等腰直角三角形.AF＝DF＝5.作DT⊥CF于T，CT＝DT＝3，TF＝＝4，∴CF＝CT＋TF＝7.例6⑴连结BC，∵AB＝AC，∴∠2＝∠5，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，即∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠3＝∠4，∴∠DAC＝∠DBC＝∠4＋∠3＝2∠4，即∠DAC＝2∠DBE.⑵延长DA至点G，使AG＝AE＝AC，则∠DAC＝2∠G，而由⑴知∠DAC＝2∠DBE.∴∠DBE＝∠G.又∠BDE＝∠GDC，∴△BDE∽△GDC，得＝，即DG·DE＝BD·DC.∴(AD＋AG)(AD－AE)＝BD·DC.∵AB＝AE＝AG，∴(AD＋AB)(AD－AB)＝BD·DC，故AD2－AB2＝BD·DC.A级1.30°≤x≤90°2.43.84.－x2＋x5.C6.B7.B提示：其中①③正确.9．提示：(1)连结BM，证明Rt△CEN≌Rt△BMN．(2)连结BD、BE、AC，证明△BED∽△FEB．(3)结论仍成立． 10．连结AM，过M作MD⊥AC，交直线AC于点D，则Rt△AMH≌Rt△AMD，Rt△MHB≌Rt△MDC． 11．(1)连结OA，OC，则Rt△OFC≌RtOGC≌Rt△OGA．∴． (2)连结OA，OB，OC，由△AOC≌△COB≌△BOA，得∠OCB＝∠OAC，∵∠AOC＝∠AOE＋∠EOC＝120°，∠DOE＝∠COF＋∠COE＝120°，∴∠AOE＝∠COF，∵∠OAC＝∠OCB，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△OAG≌△OCF，故． 12．如图，过点O作直线OP⊥BC，分别交BC，KL，AD于点P，H，N，则ON⊥AD，OH⊥KL，连结DO，LO，在Rt△NDO中，ON＝，OP＝PN－ON＝2，设HL＝x，则PH＝KL＝2x，OH＝OP＋PH＝2＋2x．在Rt△HOL中，x2＋(2x＋2)2＝52，解8、B9、提示：，又10、由，Ð=Ð，得~，故Ð=Ð=Ð，\n，连接，交于，则。又，，从而11、提示：连接交延长交⊙于点，连接，由，得，故。当时，⊙的最大面积为12、（1）ÐÐ（同弧所对圆周角相等），Ð=Ð，（2）Ð=Ð=︒，Ð，是等腰,（3）B级1、2、提示：连接，Ð3、14、5、6、提示：以为圆心、为半径画圆7、C提示：、都与相似8、C提示：连接，，可证明9、（1）延长，相交于，则，，，。由，得，（2），是的中线，设，的交点，则为重心，，，而，，，10、（1）（0，），（1，0）（2）四边形为菱形（3），Ð，平分Ð，可以证明，故为定值。11、（1）如图连接，，，Ð，为⊙的直径，则Ð又Ð，ÐÐ，显然，，ÐÐ，因此，≌，故（2）,，又，即，即，故，于是，是方程的两个根，解得，或，，所以\n
