专题18圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为和，则∠BAC度数为_______．（黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB与AC有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧，，．如果+=，那么AB+CD与EF的大小关系是（）ABCDEFA．AB+CD=EFB．AB+CD>EFC．AB+CD<EFD．AB+CD与EF的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．\n【例3】⑴如图1，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，⊙O过A，D，E三点，求⊙O的半径．⑵如图2，若多边形ABDEC是由等腰△ABC和矩形BDEC组成，AB=AC=BD=2，⊙O过A，D，E三点，问⊙O的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）AABCODEDECBO图1图2解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为的中点，DE⊥AB于E．求证：BD2-AD2=ABAC．（天津市竞赛试题）解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．ABCDE圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．\n【例5】在△ABC中，M是AB上一点，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM－3．若P是线段AC上的一个动点，⊙O是过P，M，C三点的圆，过P作PD∥AB交⊙O于点D．⑴求证：M是AB的中点；⑵求PD的长．（江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM，BM，CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．APCDBMO【例6】已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB=AC．ABCO图1DDAOEGFCBBACDOEPF图2图3⑴如图1，求证：直径AD平分∠BAC；⑵如图2，若弦BC经过半径OA的中点E，F是的中点，G是的中点，⊙O的半径为1，求弦FG的长；⑶如图3，在⑵中若弦BC经过半径OA的中点E，P为劣弧上一动点，连结PA，PB，PD，PF，求证：的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BPA=∠DPF=300，∠BPD=600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BPA==∠DPF=300，构建直角三角形；②构造PA+PF，PB+PD相关线段；③取的中点M，连结PM，联想常规命题；等等．本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，PA+PB=PH；⑵如图2，PA+PB=PH；⑶进一步，如图3，若∠APB=α，PH平分∠APB，则PA+PB=2PHcos\n为定值．图1A600300300PHBPABH600图2PABH图3能力训练A级1．圆的半径为5cm，其内接梯形的两底分别为6cm和8cm，则梯形的面积为_______cm2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB长是40cm，高CD是5cm，原轮片的直径是________cm．APBC（第4题图）3．如图，已知CD为半圆的直径，AB⊥CD于B．设∠AOB=α，则tan=_________．（黑龙江省中考试题）4．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=，BC=1，若BC=1，若以C为圆心，CB的长为半径的圆交AB于P，则AP=___________.（江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA——BO的路径运动一周.设OP长为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间的关系是（）tsOAtsOBtsOCtsOD（太原市中考试题）6．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB=10cm，CD=6cm，那么AC的长为（）A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm（第8题图）（第7题图）ABOCDAECDFBABCDFEP（第6题图）\n7．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦．若AB=10cm，CD=8cm，那么A，B两点到直线CD的距离之和为（）A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2的值．（黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E．⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）ABCDOEFM（第9题图）10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=（AB-AC）．（河南省竞赛试题）AHBMC（第10题图）11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的．⑵如图2，若∠DOE保持角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC\n的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的．12．如图，正方形ABCD的顶点A，D和正方形JKLM的顶点K，L在一个以5为半径的⊙O上，点J，M在线段BC上．若正方形ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长．（上海市竞赛试题）ADCBNOJMKL（第12题图）B级1．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，过A，B两点作CD的垂线，垂足分别为E，F．若AB=10，AE=3，BF=5，则EC=__________．OAECDFBABCDEA′ABCDPO（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A′上，若BC=5，则折痕在△ABC内的部分DE长为________．（宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O的半径为R，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，的度数为960，的度数为360．动点P在AB上，则CP+PD的最小值为__________．\n（陕西省竞赛试题）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（）A．B．C．D．5．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆圆周上一点，M是的中点，MN⊥AB于N，则有（）A．MN=ACB．MN=ACC．MN=ACD．MN=AC（武汉市选拔赛试题）CADOBEGFNACBDOP（第7题图）（第6题图）6．已知，AB为⊙O的直径，D为的中点，DE⊥AB于点E，且DE=3．求AC的长度．7．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的⊙O；对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．（全国初中数学联赛试题）\n8．如图，已知点A，B，C，D顺次在⊙O上，，BM⊥AC于M．求证：AM=DC+CM．（江苏省竞赛试题）ABCDOM（第8题图）9．如图，在直角坐体系中，点B，C在x轴的负半轴上，点A在y轴的负半轴上，以AC为直径的圆与AB的延长线交于点D，，如果AB=10，AO>BO，且AO，BO是x的二次方程的两个根．⑴求点D的坐标；⑵若点P在直径AC上，且AP=AC，判断点(－2，10)是否在过D，P两点的直线上，并说明理由．（河南省中考试题）AxyODCBP（第9题图）10．⑴如图1，已知PA，PB为⊙O的弦，C是劣弧的中点，直线CD⊥PA于点E，求证：AE=PE+PB．⑵如图2，已知PA，PB为⊙O的弦，C是优弧的中点，直线CD⊥PA于点E，问：AE，PE与PB之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．A图1CPBDEOA图2CPBDEO\n11．如图，已知弦CD垂直于⊙O的直径AB于L，弦AE平分半径OC于H．求证：弦DE平分弦BC于M．(全俄奥林匹克竞赛试题)ACOLEBDMH（第11题图）12．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB，过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．ACMNODB（第12题图）\n专题18 圆的对称性例1 15°或75° 提示：分AB、AC在圆心O同侧、异侧两种情况讨论． 例2 B 例3 (1)解法一：如图，将正方形BDEC上的等边△ABC向下平移，使其底边与DE重合，得等边△ODE．∵A、B、C的对应点是O、D、E，∴OD＝AB，OE＝AC，AO＝BD．∵等边△ABC和正方形BDEC的边长都是2，∴AB＝BD＝AC＝2，∴OD＝OA＝OE＝2．∵A、D、E三点确定一圆，O到A、D、E三点的距离相等．∴O点为圆心，OA为半径，∴该圆的半径为2．解法二：如图，将△ABC平移到△ODE位置，并作AF⊥BC，垂足为F，延长交DE于H．∵△ABC为等边三角形，∴AF垂直平分BC，∵四边形BDEC为正方形，∴AH垂直平分正方形边DE．又∵DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．在Rt△ABF中，∵∠BAF＝30°，∴AF＝AB·cos30°＝2×＝，∴OH＝AF＋FH－OA＝＋2－r．在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，∴()2＋12＝r2，解得r＝2．(2)⊙O的半径不变，因为AB＝AC＝BD＝2，此题求法和(1)一样，⊙O的半径为2． 例4 提示：BD2－AD2＝(BE2＋ED2)－(AE2＋ED2)＝(BE＋AE)(BE－AE)＝AB(BE－AE)，只需要证明AC＝BE－AE即可．在BA上截取BF＝AC．连DF可证明△DBF≌△DCA，则DF＝AD，AE＝EF． 例5 (1)由条件，得(AM－1)2＋(BM－1)2＋(CM－1)2＝0，∴AM＝BM＝CM＝1．因此，M是AB中点，且∠ACB＝90°． (2)由(1)知，∠A＝∠PCM，又PD∥AB，∴∠A＝∠CPD，∠PCM＝∠CPD，因此，，于是有DP＝CM＝1． 例6 (1)连结BD、CD，∵AD是直径，所以∠ABD＝∠ACD＝90°，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠DAC，∴AD平分∠BAC．(2)连结OB、OC，则OA⊥BC，又AE＝OE，得AB＝BO＝OA＝OC，△AOB，△AOC都为等边三角形，连结OG，则∠GOF＝90°，FG＝．(3)取的中点M，过M作MS⊥PA于S，MT⊥PF于T，连AM，FM．∠BPM＝∠DPM＝30°，∠APM＝∠FPM＝60°，则MS＝MT，MA＝MF，Rt△ASM≌Rt△FTM，Rt△PMS≌Rt△PMF．∴PS＝PM．∴PA＋PF＝2PS＝2PT＝PM．同理可证：PB＋PD＝．∴为定值．A 级 1．49或7 2.85 3．1 4．5．C 6．D 7．D 8．过O点作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD，OA，则AE＝BE，CF＝DF，∵OE2＝AO2－AE2＝(4)，OF2＝OD2－FD2＝4CD2，∴OE2＋OF2＝(4)＋(4)＝PF2＋OF2＝OP2＝12，即4＋4＝1，故AB2＋CD2＝28．得x1＝－3(舍去)，x2＝，∴正方形JKLM的边长为.B级1.2－3提示:作OM⊥CD于M，则EC＝(EF－CD).2.3.R提示:设D'是D点关于直径AB对称的点，连结CD'交AB于P，则P点使CP＋PD最小，∠COD'＝120°，CP＋PD＝CP＋PD'＝CD'＝R.\n4.D提示：如图：，得，解得a＝，r＝5.A提示:连结OM，则OM⊥AC.6.解法一:连结OD交AC于点F，∵D为的中点，∴AC⊥OD，AF＝CF.又DE⊥AB，∴∠DEO＝∠AFO.∴△ODE≌△OAF.∴AF＝DE.∵DE＝3∴AC＝6.解法二:延长DE交⊙O于点G，易证＝2＝＋＝，则DG＝AC＝2DE＝6.7.连结BO并延长交AD于H，因AB＝BD，故BH⊥AD，又∠ADC＝90°，则BH∥CD，从而△OPB∽△CPD，得＝，即＝，解得CD＝1.于是AD＝＝2，又OH＝CD＝，则AB＝＝＝，BC＝＝＝.∴四边形ABCD的周长为1＋2＋＋.8.提示:延长DC至N，使CN＝CM，连结BN，则∠BCN＝∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，可证得△BCN≌△BCM，Rt△BAM≌Rt△BDN.9.⑴AO＝8，BO＝6，AB＝BC＝10，AD＝CO＝16，DB＝AD－AB＝6，过D作DE⊥BC于E，由Rt△DEB∽Rt△AOB，得DE＝，BE＝，EO＝6＋＝.∴D(－，).⑵A(0，－8)，C(－16，0)，P(－4，－6)，经过D，P两点的直线为y＝－x－，点(2，－10)不在直线DP上.10.⑴在AE上截取AF＝BP，连结AC，BC，FC，PC，可证明△CAF≌△CBP，CF＝CP.又CD⊥PA，则PE＝FE，故AE＝PB＋PE.⑵AE＝PE－PB，在PE上截取PF＝PB，连结AC，BC，FC，PC，可证明△CPF≌△CPB，CF＝CB＝CA.又CD⊥AP，则FE＝AE，故AE＝PE－PB.11.连结BD，∠CBA＝∠DBA，CB＝BD，由∠AOC＝∠CBD，∠A＝∠BDE，得△AOH∽△DBM，∴＝＝，即BM＝BC.12.延长AC至点E，使CE＝BC，连结MA，MB，ME，BE.∵AD＝DC＋BC＝DC＋CE＝DE，又MD⊥AE，∴MA＝ME，∠MAE＝∠MEA.∵∠MAE＝∠MBC，，又由CE＝BC得∠CEB＝∠CBE，∴∠MEB＝∠MBE，得MA＝ME＝MB，即M为优弧的中点，而MN⊥AB，∴MN是⊙O的直径.
