专题3根的检测器阅读与思考一元二次方程的根的判别式是揭示根的性质与系数间联系的一个重要定理，是解直接或间接与一元二次方程相关问题的有力工具，其主要应用于以下几个方面：1、判断方程实根的情况；2．求方程中字母系数的值与字母间的关系、字母的取值范围；3．证明等式或不等式；4．利用一元二次方程必定有解的代数模型，证明几何存在性问题．许多表面与一元二次方程无关的数学问题，可以通过构造一元二次方程，把原问题转化为讨论方程的根的性质，然后用判别式来解，这是运用判别式解题的技巧策略．例题与求解【例1】如果方程有且仅有一个实数根（相等的两个实数根算作一个），则的值为．【例2】已知三个关于的方程：，和，若其中至少有两个方程有实根，则实数的取值范围是（ ）．A．B．C．D．【例3】已知是反比例函数图象上的点．（1）求过点P且与双曲线只有一个公共点的直线解析式；（2）Q是双曲线在第三象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与轴，轴分别交于C，D两点，设（1）中求得的一直线与轴，轴分别交与A，B两点，试判断AD，BC的位置关系．【例4】已知满足，求证．\n【例5】已知关于的方程.（1）求证：无论取何实数值，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长.【例6】已知是直角边长为1的等腰直角三角形（∠Z＝90°），它的三个顶点分别在等腰直角三角形ABC（∠C＝90°）的三边上．求直角边长的最大可能值．能力训练A级1．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是．2．关于的方程只有一解（相同的解算一解），则的值为．3．设是三边，且关于的方程有两个相等的实数根，则是三角形．4．方程的实数解为．5．关于的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个实数根D．没有实数根6．如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实数根的个数为（）A．2个B．1个C．0个D．不确定7．关于的方程有实数根，则整数的最大值是（）\nA．6B．7C．8D．98．已知一直角三角形的三边为，∠B＝90°，那么关于的方程的根为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定9．在等腰三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是．已知，和是关于的方程的两个实数根，求的周长．10．已知为整数，关于的三个方程：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根．求的值．11．若，证明：在方程①；②；③；④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根．12．若实数满足，求的最大值．\nB级1．当，时，方程有实数根．2．已知二次方程有两个相等的实数根，那么=．3．如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数的值为．4．已知实数满足，，那么的最小值是．5．已知实数是不全为零的三个数，那么关于的方程的根的情况是（ ）A．有两个负根B．有两个正根C．有两个异号的实根D．无实根6．关于的两个方程，中至少有一个方程有实根，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8．关于的方程仅有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9．当在什么范围内取值时，方程有且只有相异二实根．\n10．求证：对于任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使矩形B与矩形A的周长比和面积比等于．11．关于的方程有有理根，求整数的值．12．已知为实数且，若的最大值为，最小值为，求的值．\n专题03根的检测器例1.提示:原方程化为,因为两方程中一个有两个相等实根,而另一个无实根.例2.提示:从反面考虑,即考虑三个方程都无实数根时的取值范围.例3.(1)直线或或(2)例4.提示:是关于两实根,例5.(1)提示:(2)①若,则,不合题意,故这种情况不存在②若中有一条边与相等,不妨设,代入得,解得.当时,,此时,当时,,此时,例6.①如图1,若顶点在斜边上,取的中点,连结并作边上的高,则,故②如图2,若顶点在直角边(或)上,由对称性,不妨设在边上,过点作于,记,易证,得又显然为等腰直角三角形,得,设则,即在中,由勾股定理有,由,得,当时,综合①②,直角边长的最大可能值为\nA级1.2.0或23.直角4.5.B6.B7.C提示:分和两种情况8.A9.或10.或提示:参见例211.提示:故中至少有两个大于012.设则原方程可化为①方程①有实数根,,.当时,即方程①的解为,即,当时,有最大值且最大值为B级1.2.13.4提示:由题目知是方程的根,则,由条件知是的根或有两个相等的根,解得或(舍去)4.45.D6.B7.A8.D提示:当时,无解.;当时,,无意义;当时,原方程化为,即故9.或提示:当时,方程有相异两实根;当时,①或\n②10.提示:设矩形的长和宽分别为,矩形的长和宽分别为,则可看作关于的方程的两根11.①当时,,方程有有理根;②当时,因为方程有有理根,所以若是整数,则判别式必为完全平方数.即存在非负整数,使,即配方得,即由于与奇偶性相同,故或,解得或(舍去)综合①②,方程有有理根,整数的值为或12.设，得，则实数可看作一元二次方程的两个根，即故的最大值最小值
