专题03从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝＋…＋＋，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A中第n项的特征入手.【例4】现有a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形.(1)用含n的代数式表示m；(2)当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m个正方形、图②中有2n个正方形，可设图③中有3p个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m，n，p的等式.【例5】化简.（江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，…，（*）（1）在（*）中，从左起第m个数记为F(m)＝时，求m的值和这m个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（），（，），（，，），（，，，），（，，，，），….能力训练A级1.已知等式：2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，，10＋＝102×（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2n＝3n＝4s＝4s＝8s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B.100a＋1C.10a＋1D.a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A.a10＋b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均数是（）A.B.C.a＋b－cD.3(a＋b－c)(希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A.S1＞S2B．Sl＜S2C．S1＝S2D．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n次剪裁后扇形面的总个数填入下表；剪裁次数1234…n所得的总数47…（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a（a＞0）个成品，且每个每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a、b的代数式表示）；（2）试求出用b表示a的关系式；（3）若1名质检员1天能检验b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？（广东省广州市中考试题）B级1.你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n＋5）（n为自然数），即求（10·n＋5）2的值（n为自然数），分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）.（1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25；252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25；352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25；452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25；...752＝5625可写成______；852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n＋5）2＝______；（3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，计算：（1）112＋122＋…＋192＝_____________________；(2)22＋42＋…＋502＝__________________.3.已知n是正整数，an＝1×2×3×4×…×n，则＋＋…＋＋＝_______________.(“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A，B两地相距S千米，甲、乙的速度分别为a千米/时、b千米/时（a＞b），甲、乙都从A地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B地的小时数是（）A．B．C．D．6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b%出售，那么调价后的零售价是（ ）A．m（1＋a%）（1－b%）元B．ma%（1－b%）元C．m（1＋a%）b%元D．m（1＋a%b%）元（山东省竞赛试题）7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ）A．B．C．D．(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）专题03从算术到代数例1例2A例3原式==故其整数部分为2008例4设图③中含有个正方形.(1)由,得(2)由得,因均是正整数,所以当时,此时例5解法1:时,;时,,猜想:个,计算过程类似于解法2:时,时,猜想:原式验证如下:反思结论必为一个数的平方形式,不妨设,得另一种解法解法3:原式例6(1)(※)可分组为可知各组数的个数依次为.按其规律应在第组中,该组前面共有个数.故当时,.又因各组的数积为1,故这2003003个数的积为(2)依题意,为每组倒数第2个数,为每组最后一个数,设它们在第n组,别.即,得,A级1.100提示:中,根据规律可得故2.3.提示:根据题中定义的运算可列代数式,可得故4.105.C6.B7.B8.B9.(1)1013(2)不能,33不符合10.(1)或或(2)由,得(3)B级1.(1)(2)(3)2.(1)(2)提示:原式3.提示:由可得,原式4.595提示:设17个连续整数为且,它后面紧接的17个连续自然数应为,可得它们之和为5955.D6.C7.D提示:每一名同学每小时所搬砖头为块,名同学按此速度每小时所搬砖头为块.8．用a，b分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m，n分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a＋m＝b＋n得m－b＝n－a，又a＝n，b＝m，故m－m＝n－n，．9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7（均为自然数），且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝①．假设a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中没一个数都小于33，则有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＜231．与①矛盾，所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．10．设四个不同整数为a1，a2，a3，a4（a1＞a2＞a3＞a4），则（a1－a2）＋（a1－a3）＋（a1－a4）＋（a2－a3）＋（a2－a4）＋（a3－a4）＝18，即3（a1－a4）＋（a2－a3）＝18．又因3（a1－a4），18均为3的倍数，故a2－a3也是3的倍数，a2－a3＜a1－a4，则a2－a3＝3，a1－a4＝5，a1－a2＝1，a3－a4＝1，又a1a2a3a4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a1＝15，a2＝14，a3＝11，a4＝10．
