2022-2022学年重庆一中高一（下）4月月考数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，，则m=（ ）A．B．C．2D．﹣22．在等差数列{an}中，a2+a3=5，a1=4，则公差d等于（ ）A．﹣1B．0C．D．13．已知，则cos（π+2α）等于（ ）A．B．C．D．4．已知正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的中点，则的值为（ ）A．1B．2C．4D．65．等差数列{an}中，a3=5，a4+a8=22，则a9的值为（ ）A．14B．17C．19D．216．已知函数f（x）=sin（ωx+）+2（ω＞0）的图形向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A．6B．3C．D．7．数列{an}的通项公式为，其前n项和为Sn，则S2022=（ ）A．1008B．﹣1008C．﹣1D．08．已知函数，如果关于x的方程f（x）=k只有一个实根，那么实数k的取值范围是（ ）A．B．C．D．9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5=﹣15，，则当Sn取得最小值时n的值为（ ）A．7B．8C．9D．1010．已知函数，若f（m+1）＜﹣f（﹣1），则实数m的取值范围是（ ）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，2）11．已知正项等比数列{an}，满足a5+a4﹣a3﹣a2=9，则a6+a7的最小值为（ ）A．9B．18C．27D．3616/1612．设向量，，其中x，y，α为实数，若，则的取值范围为（ ）A．[﹣6，1]B．[﹣1，6]C．[4，8]D．（﹣∞，1] 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设全集U=R，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=______．14．已知，，，则与的夹角为______．15．数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的第______项．16．如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若，=μ（λ＞0，μ＞0），则λ+3μ的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a2，a3﹣3b2=2．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，求Sn和Tn的值．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的值；（2）若c=4，a+b=7，求S△ABC的值．19．已知向量，，且．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若函数在区间上有零点，求m的取值范围．20．已知向量，满足，，．（1）求的值；（2）求的最大值．21．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[1，3]上有最大值5，最小值1；设．16/16（1）求a，b的值；（2）若对任意x∈[1，10）∪（10，100]恒成立，求k的取值范围．22．已知A，B是函数的图象上任意两点，且，点．（1）求m的值；（2）若，n∈N*，且n≥2，求Sn；（3）已知，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＞λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围． 16/162022-2022学年重庆一中高一（下）4月月考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，，则m=（ ）A．B．C．2D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的坐标运算和向量的平行的条件计算即可．【解答】解：∵，，∴2×（﹣1）=1×m，∴m=﹣2，故选：D． 2．在等差数列{an}中，a2+a3=5，a1=4，则公差d等于（ ）A．﹣1B．0C．D．1【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质利用等差通项公式能求出公差d．【解答】解：∵等差数列{an}中，a2+a3=5，a1=4，∴4+d+4+2d=5，解得d=﹣1，∴公差d等于﹣1．故选：A． 3．已知，则cos（π+2α）等于（ ）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算得解．【解答】解：∵，∴cos（π+2α）=﹣cos2α=2sin2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：B． 4．已知正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的中点，则的值为（ ）A．1B．2C．4D．616/16【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B点为原点，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算即可求出答案．【解答】解：以B点为原点，建立如图所示的坐标系，∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的中点，∴E（0，1），D（2，2），C（0，2），∴=（﹣2，﹣1），=（﹣2，0），∴=﹣2×（﹣2）﹣1×0=4，故选：C． 5．等差数列{an}中，a3=5，a4+a8=22，则a9的值为（ ）A．14B．17C．19D．21【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知求得2a6，结合a3=5，再由等差数列的性质求得a9的值．【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a8=22，得2a6=22，又a3=5，由等差数列的性质可得：a9=2a6﹣a3=22﹣5=17．故选：B． 6．已知函数f（x）=sin（ωx+）+2（ω＞0）的图形向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A．6B．3C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数y=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值．【解答】解：∵函数y=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z，∴ω=6n，n∈z，又ω＞0，故其最小值是6．故选：A．16/16 7．数列{an}的通项公式为，其前n项和为Sn，则S2022=（ ）A．1008B．﹣1008C．﹣1D．0【考点】数列的求和．【分析】由三角函数性质得数列{an}是以4为周期的周期数列，由此利用S2022=504（a1+a2+a3+a4），能求出结果．【解答】解：∵数列{an}的通项公式为，∴=0，a2=cosπ=﹣1，=0，a4=cos2π=1，数列{an}是以4为周期的周期数列，∴S2022=504（a1+a2+a3+a4）=504（0﹣1+0+1）=0．故选：D． 8．已知函数，如果关于x的方程f（x）=k只有一个实根，那么实数k的取值范围是（ ）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得y=f（x）的图象和直线y=k的交点个数为1．作出y=f（x）的图象和直线y=k，通过观察即可得到k的范围．【解答】解：关于x的方程f（x）=k只有一个实根，即为y=f（x）的图象和直线y=k的交点个数为1．作出y=f（x）的图象和直线y=k，如图，由图象可得当ln2＜k＜时，y=f（x）的图象和直线y=k只有一个交点，即为关于x的方程f（x）=k只有一个实根．故选：D．16/16 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5=﹣15，，则当Sn取得最小值时n的值为（ ）A．7B．8C．9D．10【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知得a1=﹣3﹣2d，从而得到Sn=（n﹣）2﹣，由，得，由此能求出当Sn取得最小值时n的值．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5=﹣15，，∴=﹣15，解得a1=﹣3﹣2d，Sn=na1+=﹣3n﹣2nd+﹣=（n﹣）2﹣，∵，∴，∴当Sn取得最小值时n的值为．故选：C． 10．已知函数，若f（m+1）＜﹣f（﹣1），则实数m的取值范围是（ ）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，2）【考点】指、对数不等式的解法．【分析】先判定函数f（x）是定义域上的奇函数，再判断f（x）是单调减函数，由f（m+1）＜﹣f（﹣1）转化为等价的不等式组，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵函数，x∈（﹣2，2），16/16∴f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），∴f（x）是定义域上的奇函数；又f（x）=lg（﹣1+）在定义域（﹣2，2）上是单调减函数，若f（m+1）＜﹣f（﹣1），则f（m+1）＜f（1），转化为，解得0＜m＜1；∴实数m的取值范围是（0，1）．故选：C． 11．已知正项等比数列{an}，满足a5+a4﹣a3﹣a2=9，则a6+a7的最小值为（ ）A．9B．18C．27D．36【考点】等比数列的通项公式．【分析】可判数列{an+an+1}也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列．设其公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a4+a5=ax，结合已知可得a=，代入可得y=a6+a7的表达式，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．【解答】解：∵数列{an}是各项均为正的等比数列，∴数列{an+an+1}也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列．设其公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a5+a4=ax，∴有a5+a4﹣a3﹣a2=ax﹣a=9，即a=，∴y=a6+a7=ax2=，x∈（1，+∞），求导数可得y′=，令y′＞0可得x＞2，故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，∴当x=2时，y=a6+a7取最小值：36．故选：D． 12．设向量，，其中x，y，α为实数，若，则的取值范围为（ ）A．[﹣6，1]B．[﹣1，6]C．[4，8]D．（﹣∞，1]【考点】向量数乘的运算及其几何意义．16/16【分析】根据向量的数量关系列出方程组，得出x，y的关系，根据三角函数的范围得出y的范围，从而得出的范围．【解答】解：∵，∴，由x+2=2y得x=2y﹣2，由x2﹣cos2α=y+2sinαcosα得：x2﹣y=cos2α+sin2α=2sin（2α+）．∴4y2﹣9y+4=2sin（2α+）．∴﹣2≤4y2﹣9y+4≤2，解得．∴=．∴当y=时，取得最小值﹣6，当y=2时，取得最大值1．故选：A． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设全集U=R，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B= [2，3） ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵log2x≥1=log22，∴x≥2，∴A=[2，+∞），∵x2﹣2x﹣3＜0，∴（x﹣3）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜3，∴B=（﹣2，3），∴A∩B=[2，3），故答案为：[2，3） 14．已知，，，则与的夹角为 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵，，，∴平方得||2+||2﹣2•=1，即1+3﹣2•=1，则2•=3，16/16•=，则cos＜，＞===，则．＜，＞=，故答案为：． 15．数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的第 24 项．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，由此可知：分子、分母之和为7的有6项，而分子、分母之和为8的有7项，排列顺序为：，，，可得是分子、分母之和为8的第3项，再由等差数列的前n项和公式计算即可得答案．【解答】解：观察数列1，，，，，，，，，，…，该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，∴分子、分母之和为7的有6项．而分子、分母之和为8的有7项，排列顺序为：，，，其中是分子、分母之和为8的第3项，故共有项．故答案为：24． 16．如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若，=μ（λ＞0，μ＞0），则λ+3μ的最小值是 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】先确定λ，μ的关系，再利用导数法，即可求出λ+3μ的最小值．【解答】解：∵若，=μ（λ＞0，μ＞0），∴=+=（1﹣λ），16/16M，D，N三点共线，∴存在实数k，使=k=﹣kλ+kμ．∵==﹣，∴（﹣kλ）+（kμ﹣）=（1﹣λ），∴﹣kλ=1﹣λ，kμ﹣=0，∴μ=，λ+3μ=λ+．设f（λ）=λ+，λ＞0，则f′（λ）=1+，令f′（λ）=0得，λ=0，或λ=．在（0，）上，f′（λ）＜0；在（，+∞）时，f′（λ）＞0；∴λ=时，f（λ）取极小值，也是最小值；∴f（λ）的最小值为3，即λ+3μ的最小值是3，故答案为：3． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a2，a3﹣3b2=2．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，求Sn和Tn的值．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，建立方程组关系求出公比和公差即可得到结论．（2）根据等比数列和等差数列的前n项和公式进行求解即可．【解答】解：（1）设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，由题意q＞0，由已知，有，即，消去d得：q2﹣2q﹣3=0，解得q=3或q=﹣1（舍去）∴，q=3，所以{an}的通项公式为，n∈N*，{bn}的通项公式为，n∈N*．16/16（2）由（1）知an}的通项公式为，n∈N*，则数列为等比数列，则Sn==（3n﹣1），{bn}的通项公式为，n∈N*．则数列为等差数列，则Tn==nn+n，即，． 18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的值；（2）若c=4，a+b=7，求S△ABC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理与和差化积即可得出．（2）利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵acosB+bcosA=2ccosC，由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC．∴sinC=sin（A+B）=2sinCcosC，∵sinC≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴．（2）由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，即，∴ab=11，∴． 19．已知向量，，且．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若函数在区间上有零点，求m的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f（x），再利用直线函数的单调性即可得出．16/16（2）g（x）有零点，即函数与y=m图象有交点，求出函数的值域即可得出．【解答】解：（1）由===，由，得，则f（x）的递增区间为．（2），g（x）有零点，即函数与y=m图象有交点，函数在区间上的值域为，由图象可得，m的取值范围为． 20．已知向量，满足，，．（1）求的值；（2）求的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）建立平面直角坐标系，由已知令，，，求得的坐标，代入向量模的公式计算；（2）由，得（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，令，，求出，利用辅助角公式化积后得答案．【解答】解：（1）建立平面直角坐标系，令，，，则，∴；（2）∵，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，16/16令，，则==．故的最大值为． 21．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[1，3]上有最大值5，最小值1；设．（1）求a，b的值；（2）若对任意x∈[1，10）∪（10，100]恒成立，求k的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【分析】（1）根据g（x）的单调性，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；（2）令t=|lgx﹣1|，则t∈（0，1]，问题转化为对任意t∈（0，1]恒成立，令，t∈（0，1]，通过讨论k的范围，结合函数的单调性，确定k的具体范围即可．【解答】解：（1）g（x）=a（x﹣1）2+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[1，3]上是增函数，故，解得．（2）由已知可得，，即，令t=|lgx﹣1|，则t∈（0，1]，对任意t∈（0，1]恒成立，令，t∈（0，1]，则：①当k=﹣1时，h（t）=t≥0成立；②当k＜﹣1时，在（0，1]上为增函数，t→0+时，h（t）→﹣∞，舍去；③当k＞﹣1时，h（t）在上为减函数，在上为增函数，若，即时，，得，∴．若，即时，h（t）在（0，1]上为减函数，h（t）min=h（1）=﹣k≥0，16/16∴，综上，k的取值范围为[﹣1，0]． 22．已知A，B是函数的图象上任意两点，且，点．（1）求m的值；（2）若，n∈N*，且n≥2，求Sn；（3）已知，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＞λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【分析】（1）可知M是AB的中点，根据中点坐标公式求得x1和x2的关系，代入函数解析式即可求得m的值；（2）由（1）可知，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，采用倒序相加法，即可求求得Sn；（3）由题意可知当n≥2时，，求得数列{an}的前n项和Tn，由Tn＞λ（Sn+1+1），采用分离变量即可求得λ的表达式，即可求得λ的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴M是AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得x1+x2=1，则x1=1﹣x2，x2=1﹣x1，而=，=，=∴．（2）由（1）知：x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，，16/16，两式相加，得：=，∴（n≥2，n∈N）．（3）当n≥2时，，，由Tn＞λ（Sn+1+1），得，∴对任意n≥2，n∈N*都成立，，当且仅当n=2时等号成立，∴．故λ的取值范围是（﹣∞，）． 16/16
