2022-2022学年山东省济宁市微山一中高一（上）12月段测数学试卷（普通班） 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，则∁UA=（ ）A．{4}B．{2，4，5}C．{4，5}D．{1，3，4}2．设，则f[f（﹣1）]=（ ）A．1B．2C．4D．83．已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（ ）A．12B．C．D．4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A．y=x+1B．y=﹣x2C．D．y=x35．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（ ）A．B．C．D．6．设a=30.3，b=logπ3，c=log0.32则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．c＜a＜b7．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β8．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象是（ ）A．B．C．D．9．如图是一个正三棱柱体的三视图，该柱体的体积等于（ ）13/13A．B．2C．2D．10．函数f（x）=ex﹣的零点所在的区间是（ ）A．B．C．D． 二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）11．已知函数f（x）=lg（x﹣1），它的定义域为 ．12．已知球的某截面的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为 ．13．函数f（x）=x2﹣2x+2，x∈[﹣5，5]的值域为 ．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D中，异面直线A1D与D1C所成的角为 度．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D中，直线A1D与平面AB1C1D所成的角为 度． 三、解答题（共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．（1）求A∩B；（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．17．如图，四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，E、F分别为AD、AC的中点，BC⊥CD．求证：（1）EF∥平面BCD（2）平面BDC⊥平面ACD．13/1318．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．19．某企业拟投资A、B两个项目，预计投资A项目m万元可获得利润万元；投资B项目n万元可获得利润（40﹣n）2（40﹣n）万元．若该企业用40万元来投资这两个项目，则分别投资多少万元能获得最大利润？最大利润是多少？20．如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求三棱锥D﹣ABC的体积；（Ⅱ）当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．21．已知函数g（x）=f（x）+x（x∈R）为奇函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）=log2x，求当x＜0时，函数g（x）的解析式． 13/132022-2022学年山东省济宁市微山一中高一（上）12月段测数学试卷（普通班）参考答案与试题解析 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，则∁UA=（ ）A．{4}B．{2，4，5}C．{4，5}D．{1，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁UA，即可选出正确选项【解答】解：因为U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}所以∁UA={4，5}故选：C． 2．设，则f[f（﹣1）]=（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】函数的值．【分析】根据题意，可先求f（﹣1）=1，然后即可求解f[f（﹣1）]【解答】解：由题意可得，f（﹣1）=（﹣1）2=1∴f[f（﹣1）]=f（1）=21=2故选B 3．已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（ ）A．12B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用正四面体的结构特征求解．【解答】解：棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，其表面积为：S=4×（）=4．故选：C． 4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A．y=x+1B．y=﹣x2C．D．y=x3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】对于A，函数为增函数，但不是奇函数；对于B，函数为偶函数；对于C，函数在定义域的两个区间分别为减函数；13/13对于D，函数为增函数，是奇函数．【解答】解：对于A，函数为增函数，但不是奇函数，不满足题意；对于B，﹣（﹣x）2=﹣x2，函数为偶函数，不满足题意；对于C，y′=﹣，函数在定义域的两个区间分别为减函数，不满足题意；对于D，y′=3x2，函数为增函数，（﹣x）3=﹣x3，是奇函数，满足题意；故选D． 5．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（ ）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】通过正方体的表面积，先求球的内接正方体的棱长，再求正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求其体积．【解答】解：球的内接正方体的表面积为24，所以正方体的棱长是：2正方体的对角线2，所以球的半径是所以球的体积：，故选C． 6．设a=30.3，b=logπ3，c=log0.32则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．c＜a＜b【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和特殊点可得a=30.3＞1，b=logπ3＜1，c=log0.32＞0，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：由于a=30.3＞30=1，b=logπ3＜logππ=1，c=log0.32＞log0.31=0，故有c＜b＜a，故选B． 7．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A选项m∥n，m∥α，则n∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项α⊥β，m∥α，则m⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项α⊥β，m⊥β，则m∥α可由线面的位置关系进行判断；D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；【解答】解：A选项不正确，因为n⊂α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，m∥α时，m∥β，m⊂β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m⊂α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D 8．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象是（ ）13/13A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=logax，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C． 9．如图是一个正三棱柱体的三视图，该柱体的体积等于（ ）A．B．2C．2D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据长对正，宽相等，高平齐，可得底面正三角形高为，三棱柱高为1，由此可求正三棱柱的体积．【解答】解：根据长对正，宽相等，高平齐，可得底面正三角形高为，三棱柱高为1所以正三角形边长为=2，所以V=×2××1=，故选A． 13/1310．函数f（x）=ex﹣的零点所在的区间是（ ）A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=ex，y=的图象，由图得一个交点．【解答】解：画出函数y=ex，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B． 二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）11．已知函数f（x）=lg（x﹣1），它的定义域为 （1，+∞） ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，即函数的定义域为：（1，+∞），故答案为：（1，+∞） 12．已知球的某截面的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为 100π ．13/13【考点】球的体积和表面积．【分析】先确定截面圆的半径，再求球的半径，从而可得球的表面积【解答】解：∵截面的面积为16π，∴截面圆的半径为4，∵球心O到平面α的距离为3，∴球的半径为=5∴球的表面积为4π×52=100π故答案为：100π 13．函数f（x）=x2﹣2x+2，x∈[﹣5，5]的值域为 [1，37] ．【考点】函数的值域．【分析】根据一元二次函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+2的对称轴为x=1，则当x∈[﹣5，5]时，当x=1时，函数取得最小值f（1）=1﹣2+2=1，当x=﹣5时，函数取得最大值f（﹣5）=25﹣2×（﹣5）+2=37，故函数的值域为[1，37]，故答案为：[1，37] 14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D中，异面直线A1D与D1C所成的角为 60 度．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，可知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，即可得出答案．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等边三角形，∴∠DA1B=60°，∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．故填：60． 15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D中，直线A1D与平面AB1C1D所成的角为 30 度．13/13【考点】直线与平面所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1D与平面AB1C1D所成的角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D棱长为1，则A1（1，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），C1（0，1，1），=（1，0，0），=（0，1，1），=（1，0，1），设平面AB1C1D的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣1），设直线A1D与平面AB1C1D所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=||=||=，∴θ=30°．∴直线A1D与平面AB1C1D所成的角为30°．故答案为：30°． 三、解答题（共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．13/13（1）求A∩B；（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．【分析】（1）化简集合B，然后求集合的交集．（2）利用B∪C=C，得到B⊆C，然后求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…所以A∩B={x|2≤x＜3}…（2）因为B∪C=C，所以B⊆C…所以a﹣1≤2，即a≤3… 17．如图，四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，E、F分别为AD、AC的中点，BC⊥CD．求证：（1）EF∥平面BCD（2）平面BDC⊥平面ACD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由中位线定理得出EF∥CD，故而EF∥平面BCD；（2）由AD⊥平面BCD即可得出平面BDC⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵E、F分别为AD、AC的中点，∴EF∥CD，又EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD．（2）∵AD⊥平面BCD，AD⊂平面ACD，∴平面BDC⊥平面ACD． 18．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．13/13【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）根据线面平行的判定定理证出即可；（II）根据面面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．∴PA∥平面BDE．（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE 19．某企业拟投资A、B两个项目，预计投资A项目m万元可获得利润万元；投资B项目n万元可获得利润（40﹣n）2（40﹣n）万元．若该企业用40万元来投资这两个项目，则分别投资多少万元能获得最大利润？最大利润是多少？【考点】函数最值的应用．【分析】设x万元投资于A项目，用剩下的（40﹣x）万元投资于B项目，根据已知求出利润W与x之间的函数关系式，进而根据二次函数的图象和性质，求出函数的最值点及最值．【解答】解：设投资x万元于A项目，则投资（40﹣x）万元于B项目，…总利润…=﹣x2+30x+100=﹣（x﹣15）2+325…当x=15时，Wmax=325（万元）．所以投资A项目15万元，B项目25万元时可获得最大利润，最大利润为325万元．… 20．如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求三棱锥D﹣ABC的体积；（Ⅱ）当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．13/13【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）取出AB中点E，连接DE，CE，由等边三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，由勾股定理可得CE的长，进而可得三角形ABC的面积，由棱锥的体积公式可得答案．（Ⅱ）总有AB⊥CD，当D∈面ABC内时，显然有AB⊥CD，当D在而ABC外时，可证得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点E，连接DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB．当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE由已知可得，则S△ABC=1，VD﹣ABC=××1=．（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD．（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD． 21．已知函数g（x）=f（x）+x（x∈R）为奇函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）=log2x，求当x＜0时，函数g（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．13/13【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断；（2）根据函数奇偶性的性质即可求g（x）的解析式．【解答】解：（1）∵函数g（x）=f（x）+x（x∈R）为奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），即f（﹣x）﹣x=﹣f（x）﹣x，即f（﹣x）=﹣f（x）则函数f（x）是奇函数；（2）∵x＜0，∴﹣x＞0，则f（﹣x）=log2（﹣x），∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=log2（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣log2（﹣x），x＜0，则g（x）=f（x）+x=x﹣log2（﹣x），x＜0故当x＜0时，函数g（x）的解析式为g（x）=x﹣log2（﹣x），x＜0． 13/13
