2022-2022学年江苏省盐城市东台市创新学校高一（下）第二次月考数学试卷 一．填空题（共14小题）1．直线x﹣y+3=0的倾斜角为 ．2．过点（﹣1，2）且倾斜角为45°的直线方程是 ．3．已知直线y=2x+b过点（1，2），则b= ．4．若直线经过点A（2，﹣3）、B（1，4），则直线的斜截式方程为 ．5．已知直线l过点P（3，2）与点Q（1，4），则直线l的直线方程是 ．6．过点A（2，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 ．7．点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是 ．8．直线l过点（1，1），且与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=8相交于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为 ．9．若直线l过点（1，1），且与直线l′：x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为 ．10．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM所在直线的方程为 ．11．直线l与直线3x﹣y+2=0关于y轴对称，则直线l的方程为 ．12．已知直线y=kx（k＞0）与圆C：（x﹣2）2+y2=1相交于A，B两点，若AB=则k= ．13．若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ．14．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是 ． 二．解答题（共6小题）15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAC的体积．16．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．11/1117．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．18．（I）求两条平行直线3x+4y﹣12=0与mx+8y+6=0之间的距离；（Ⅱ）求两条垂直直线2x+y+2=0与nx+4y﹣2=0的交点坐标．19．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x﹣y﹣4=0相切．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）若已知点P（3，2），过点P作圆O的切线，求切线的方程．20．已知点P为圆C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上的动点（1）若点Q为直线l：x+y﹣1=0上动点，求|PQ|的最小值与最大值；（2）若M为圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2=4上动点，求|PM|的最大值和最小值． 11/112022-2022学年江苏省盐城市东台市创新学校高一（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析 一．填空题（共14小题）1．直线x﹣y+3=0的倾斜角为 45° ．【考点】直线的倾斜角．【分析】求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．【解答】解：直线x﹣y+3=0的斜率为1；所以直线的倾斜角为45°．故答案为45°． 2．过点（﹣1，2）且倾斜角为45°的直线方程是 x﹣y+3=0 ．【考点】直线的点斜式方程．【分析】由直线的倾斜角求出斜率，直接代入点斜式方程得答案．【解答】解：由直线的倾斜角为45°，得其斜率为k=tan45°=1．又过点（﹣1，2），∴方程为y﹣2=1×（x+1），即x﹣y+3=0．故答案为x﹣y+3=0． 3．已知直线y=2x+b过点（1，2），则b= 0 ．【考点】直线的斜截式方程．【分析】将（1，2）代入y=2x+b，解出即可．【解答】解：将（1，2）代入y=2x+b，得：2=2+b，解得：b=0，故答案为：0． 4．若直线经过点A（2，﹣3）、B（1，4），则直线的斜截式方程为 y=﹣7x+11 ．【考点】直线的斜截式方程．【分析】求出斜率，可得点斜式，化为斜截式即可．【解答】解：直线的斜率k==﹣7．∴点斜式为：y﹣4=﹣7（x﹣1），化为y=﹣7x+11．故答案为：y=﹣7x+11． 5．已知直线l过点P（3，2）与点Q（1，4），则直线l的直线方程是 x+y﹣5=0 ．【考点】直线的两点式方程．【分析】根据直线的两点式方程求出方程即可．【解答】解：代入两点式方程得：11/11=，整理得：x+y﹣5=0，故答案为：x+y﹣5=0． 6．过点A（2，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 x﹣2y=0，或x+y﹣3=0 ．【考点】直线的截距式方程．【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点A（2，1）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线过原点时，方程为y=x，即x﹣2y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点A（2，1）代入直线的方程可得k=3，故直线方程是x+y﹣3=0．综上，所求的直线方程为x﹣2y=0，或x+y﹣3=0，故答案为x﹣2y=0，或x+y﹣3=0． 7．点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．【考点】中点坐标公式；点到直线的距离公式．【分析】设所求对称点的坐标为（a，b），由对称关系可得a和b的方程组，解方程组可得．【解答】解：设所求对称点的坐标为（a，b），则由对称关系可得，解方程组可得，即对称点为（﹣2，﹣3）故答案为：（﹣2，﹣3）． 8．直线l过点（1，1），且与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=8相交于A，B两点，则弦AB最短时直线l的方程为 x+y﹣2=0 ．【考点】直线的一般式方程；直线与圆相交的性质．【分析】由题意得，点在圆的内部，故当弦AB和点（1，1）与圆心（2，2）的连线垂直时，弦AB最短，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程，再化为一般式．【解答】解：因为点（1，1）到圆心（2，2）的距离等于，小于半径，故此点在圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=8的内部，故当弦AB和点（1，1）与圆心（2，2）的连线垂直时，弦AB最短．弦AB的斜率为=﹣1，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程为y﹣1=﹣1（x﹣1），11/11即x+y﹣2=0，故答案为：x+y﹣2=0． 9．若直线l过点（1，1），且与直线l′：x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为 y=2x﹣1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的性质．【分析】由于直线l与直线l′：x+2y﹣3=0垂直，可设l的方程为：2x﹣y+m=0，把点（1，1）代入方程即可解出．【解答】解：∵直线l与直线l′：x+2y﹣3=0垂直，∴可设l的方程为：2x﹣y+m=0，把点（1，1）代入方程可得：2×1﹣1+m=0，解得m=﹣1．∴直线l的方程为y=2x﹣1．故答案为：y=2x﹣1． 10．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM所在直线的方程为 3x﹣2y+2=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．【解答】解：∵AC的中点M（2，4），∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：=，整理，得3x﹣2y+2=0，故答案为：3x﹣2y+2=0． 11．直线l与直线3x﹣y+2=0关于y轴对称，则直线l的方程为 3x+y﹣2=0 ．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由题意求出直线l的斜率，再求出直线3x﹣y+2=0所过的定点，由直线方程的斜截式得答案．【解答】解：由题意可知，直线l的斜率与直线3x﹣y+2=0斜率互为相反数，∵3x﹣y+2=0的斜率为3，∴直线l的斜率为﹣3，又直线3x﹣y+2=0过点（0，2），∴直线l的方程为y=﹣3x+2，即3x+y﹣2=0．故答案为：3x+y﹣2=0． 12．已知直线y=kx（k＞0）与圆C：（x﹣2）2+y2=1相交于A，B两点，若AB=则k= ．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆心到直线的距离d=，利用勾股定理，建立方程，即可求出k．11/11【解答】解：圆心到直线的距离d=，∵AB=，∴（）2+（）2=1，∴k=±，∵k＞0，∴k=．故答案为：． 13．若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2= 18 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线将圆分成长度相等的四段弧，转化为圆心C到直线l1：y=x+a或l2：y=x+b的距离相等，且为2，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：∵直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b为平行线，∴若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则圆心为C（1，2），半径为=2，则圆心C到直线l1：y=x+a或l2：y=x+b的距离相等，且为2，即d===2，即|a﹣1|=2，则a=2+1或a=1﹣2，即a=2+1，b=1﹣2或b=2+1，a=1﹣2，则a2+b2=（2+1）2+（1﹣2）2=9+4+9﹣4=18，故答案为：18 14．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是 （﹣3，﹣1）∪（1，3） ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆上点到原点距离d=，从而|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r=2，圆上点到原点距离为d，∵圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为根号，∴d=，∴|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|11/11∴||＜|a|＜，即1＜|a|＜3，解得1＜a＜3或﹣3＜a＜﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．故答案为：（﹣3，﹣1）∪（1，3）． 二．解答题（共6小题）15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAC的体积．【考点】平面与平面平行的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD中点F，连接EF、CF，利用三角形中位线，得出EF∥PA，从而EF∥平面PAB．在平面四边形ABCD中，通过内错角相等，证出CF∥AB，从而CF∥平面PAB．最后结合面面平行的判定定理，得到平面CEF∥平面PAB，所以CE∥平面PAB；（2）由PA⊥平面ABCD且AC⊥CD，证出CD⊥平面PAC，从而平面DPC⊥平面PAC．过E点作EH⊥PC于H，由面面垂直的性质定理，得EH⊥平面PAC，因此EH∥CD，得EH是△PCD的中位线，从而得到EH=CD=，最后求出Rt△PAC的面积，根据锥体体积公式算出三棱锥E﹣PAC的体积．【解答】解：（1）取AD中点F，连接EF、CF∴△PAD中，EF是中位线，可得EF∥PA∵EF⊈平面PAB，PA⊆平面PAB，∴EF∥平面PAB∵Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴AC==2又∵Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴AD=4，结合F为AD中点，得△ACF是等边三角形∴∠ACF=∠BAC=60°，可得CF∥AB∵CF⊈平面PAB，AB⊆平面PAB，∴CF∥平面PAB∵EF、CF是平面CEF内的相交直线，∴平面CEF∥平面PAB∵CE⊆面CEF，∴CE∥平面PAB（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线∴CD⊥平面PAC∵CD⊆平面DPC，∴平面DPC⊥平面PAC过E点作EH⊥PC于H，由面面垂直的性质定理，得EH⊥平面PAC∴EH∥CD11/11Rt△ACD中，AC=2，AD=4，∠ACD=90°，所以CD==2∵E是CD中点，EH∥CD，∴EH=CD=∵PA⊥AC，∴SRt△PAC==2因此，三棱锥E﹣PAC的体积V=S△PAC×EH= 16．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由D为等腰三角形底边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再利用已知面面垂直的性质即可证出．（2）证法一：连接A1C，交AC1于点O，再连接OD，利用三角形的中位线定理，即可证得A1B∥OD，进而再利用线面平行的判定定理证得．证法二：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B，可得四边形BDC1D1及D1A1AD是平行四边形．进而可得平面A1BD1∥平面ADC1．再利用线面平行的判定定理即可证得结论．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．…因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…（2）（证法一）连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD∥A1B．…因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…11/11（证法二）取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B．则D1C1BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B∥C1D．因为C1D⊂平面ADC1，D1B⊄平面ADC1，所以D1B∥平面ADC1．同理可证A1D1∥平面ADC1．因为A1D1⊂平面A1BD1，D1B⊂平面A1BD1，A1D1∩D1B=D1，所以平面A1BD1∥平面ADC1．…因为A1B⊂平面A1BD1，所以A1B∥平面ADC1．… 17．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．【考点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程．【分析】利用平行直线系方程特点设出方程，结合条件，用待定系数法求出待定系数．【解答】解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9，11/11∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0．（2）由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n=0，令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，故三角形面积S=•|﹣|•||=4∴得n2=96，即n=±4∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0． 18．（I）求两条平行直线3x+4y﹣12=0与mx+8y+6=0之间的距离；（Ⅱ）求两条垂直直线2x+y+2=0与nx+4y﹣2=0的交点坐标．【考点】两条平行直线间的距离；两条直线的交点坐标．【分析】（I）先利用平行条件求出m，再由平行线的距离公式，可得结论；（Ⅱ）由2x+y+2=0与nx+4y﹣2=0垂直，得n的值，再联立方程组成方程组，求出交点坐标．【解答】解：（I）由平行知斜率相等，得m=6，∴mx+8y+6=0为3x+4y+3=0；…再由平行线的距离公式，可得d==3…（Ⅱ）由2x+y+2=0与nx+4y﹣2=0垂直，得2n+4=0，∴n=﹣2，∴nx+4y﹣2=0为x﹣2y+1=0；…由得，∴交点为（﹣1，0）… 19．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x﹣y﹣4=0相切．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）若已知点P（3，2），过点P作圆O的切线，求切线的方程．【考点】直线与圆相交的性质；圆的切线方程．【分析】（Ⅰ）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径r的值，可得所求的圆的方程．（Ⅱ）由题意可得点P在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率k的值，可得所求切线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2=r2，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故r==2，∴圆的方程是x2+y2=4．（Ⅱ）∵|OP|==＞2，∴点P在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k=0．又圆心为O（0，0），半径r=2，而圆心到切线的距离d==2，即|3k﹣2|=2，11/11∴k=或k=0，故所求切线方程为12x﹣5y﹣26=0或y﹣2=0． 20．已知点P为圆C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上的动点（1）若点Q为直线l：x+y﹣1=0上动点，求|PQ|的最小值与最大值；（2）若M为圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2=4上动点，求|PM|的最大值和最小值．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）求出圆心C1：（3，4），半径r1=2，及圆心到直线的距离，由图形观察即可得到最值；（2）求出圆心C2为（﹣1，1），半径为r2=2，求出圆心的距离，判断两圆的位置关系，通过图形观察即可得到所求最值．【解答】解：（1）圆C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4的圆心C1：（3，4），半径r1=2，圆心C1到直线x+y﹣1=0的距离为d==3＞2，即有直线和圆相离，即有|PQ|的最小值为3﹣2，无最大值；（2）圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2=4的圆心C2为（﹣1，1），半径为r2=2，由|C1C2|==5＞r1+r2=4，即有两圆相离，即有|PM|的最大值为5+4=9，最小值为5﹣4=1． 11/11
