玉溪一中高2022届高二下学期期末考数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列说法错误的是( )A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“∃x∈R使得x2＋x＋1＜0”，则：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”2.已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于( )A．－1B．1C．2D．33．某班中秋联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A．42B．30C．20D．124.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，则M－N＝( )A．－240B．150C．0D．2405．由>，>，>，…，若a>b>0，m>0，则与之间大小关系为( )A．相等B．前者大C．后者大D．不确定6.如右图是湖南电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A．84，4.84B．84，1.6C．85，4D．85，1.67.若，则的最小值为（）A．3B．2C．1D．48.以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )9\nA.m B.m C.m D.m9．如果函数的图象如左图，那么导函数的图象可能是( )10．如右图所示的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )A．x＞c B．c＞x C．c＞b D．b＞c11．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )A．4B．8C．8D．16二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知＝(2，－1，2)，＝(2，2，1)，则以，为邻边的平行四边形的面积为________．14．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，9\n6个点的正方体)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．15．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．16．已知a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝9，求＋＋的最大值________．三、填空题（本大题共6小题，共70分）17（本小题满分10分）解不等式18（本小题满分12分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：（1）随机变量X的分布列；（2）随机变量X的期望．19（本小题满分12分）已知函数(1)若在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数，使在(－1，1)上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在试说明理由．9\n20（本小题满分12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)证明在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．21．（本小题满分12分）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，且它的离心率与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A、B两点．点M在椭圆上，且满足，求k的值．‘9\n22（本小题满分12分）已知函数（1）求的最大值；（2）设玉溪一中高2022届高二下学期期末考数学试题（理科）（参考答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBADBDACABDC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．14．15．0.7216．三、填空题（本大题共6小题，共70分）17解：（1）当时，原不等式化为，解得，；…………3分（2）当时，原不等式化为，解得，；…………6分9\n（3）当时，原不等式化为，解得，…………9分综上可知：原不等式的解集为…………10分18解：解法一：(1)X的所有可能值为0，1，2，3，4，5.…………1分由等可能性事件的概率公式得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.…………7分从而，X的分布列为：…………8分X012345P(2)由(1)得X的期望为：EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝＝.…………12分解法二：(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X～B(5，)，…………3分即有P(X＝k)＝C()k()5－k，k＝0，1，2，3，4，5.由此计算X的分布列如解法一．………10分(2)EX＝5×＝.…………12分19解：(1)f′(x)＝3x2－a…………1分9\n由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，…………5分因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．…………6分(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，则对于任意x∈(－1,1)不等式f′(x)＝3x2－a≤0恒成立…………8分即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x2<3因此a≥3…………11分函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)．…………12分20(1)证明：如图，连结OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则O(0，0，0)，A(0，,0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3)．…………2分由题意，得G(0,4,0)．因为＝(8，0，0)，＝(0，－4，3)，所以平面BOE的法向量n＝(0，3，4)，…………4分由(－4，4，－3)，得n·＝0.又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.…………6分(2)解：设点M的坐标为(x0，y0,0)，则＝(x0－4，y0，－3)．…………7分因为FM⊥平面BOE，所以∥n，因此x0＝4，y0＝－，即点M的坐标是.…………10分在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE.由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，.…………12分9\n21．解：(1)∵双曲线－y2＝1的离心率为，∴椭圆的离心率为.…………2分又∵b＝1，∴a＝2.∴椭圆的方程为＋y2＝1.…………4分(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m，n)．由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，∴x1＋x2＝－，x1·x2＝0.…………6分∵＝＋，∴m＝(x1＋x2)，n＝(y1＋y2)，…………7分∵点M在椭圆上，∴m2＋4n2＝4，∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝[(x＋4y)＋3(x＋4y)＋2x1x2＋8y1y2]＝[4＋12＋8y1y2]＝4.∴y1y2＝0.…………10分∴(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝k·2＋1＝0，即k2＝，∴k＝±.此时Δ＝(8k)2－4(1＋4k2)×0＝64k2＝16>0∴k的值为±.…………12分22（1）解：即函数的定义域为又…………2分由且得又是增函数.…………4分由又是减函数.…………6分9\n取得最大值.的最大值等于…………7分（2）证明：根据（1）知：当是减函数.1…………9分化简得…………12分9
