玉溪一中2022届高二下学期期中考试数学试题（理科）班级学号姓名第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A＝{x|x＜－1或x＞1}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A.{x|x＞1}B.{x|x＞0}C.{x|x＜－1}D.{x|x＜－1或x＞1}2.－等于（）A.3－4iB.－3＋4iC.3＋4iD.－3－4i3.已知M＝dx，N＝cos215°－sin215°，则（）A.M＜NB.M＞NC.M＝ND.以上都有可能4.一个体积为12的正三棱柱的三视图如图1所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A.3B.4C.5D.65.函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是（）A.(0，1]B.[1，＋∞)C.(－∞，－1]∪(0，1]D.[－1，0)∪(0，1]6.若不等式a＞|t－1|－|t－2|对任意t∈R恒成立，则函数f(x)＝log(x2－5x＋6)的单调递减区间为（）A.(，＋∞)B.(3，＋∞)C.(－∞，)D.(－∞，2)7.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f′′(x)＝(f′(x))′，若f′′(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是（）A.f(x)＝sinx＋cosxB.f(x)＝lnx－2xC.f(x)＝－x3＋2x－1D.f(x)＝－xe－x8.函数y＝－x2＋1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是（）A.B.C.D.-8-\n9.在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A.B.C.D.10.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F，若椭圆上存在一个P点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.11.定义在R上的可导函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，且当x∈[2，4]时，f(x)＝x2＋2xf′(2)，则f(－)与f()的大小关系是（）A.f(－)＝f()B.f(－)＜f()C.f(－)＞f()D.不确定12.函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图2，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A.1B.C.2D.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.执行如图3所示的程序框图，输出结果是.14.已知函数f(x)＝x3＋f′()x2－x，则函数f(x)的图象在点(，f())处的切线方程是.15.如图4，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)＝2x2－2x及直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为.16.函数f(x)（x∈R）满足f(1)＝1，且f(x)在R上的导函数f′(x)＞，则不等式f(lnx)＜的解集为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）-8-\n数列{an}中，a1＝t，a2＝t2(t＞0且t≠1).x＝是函数f(x)＝an－1x3－3[(t＋1)an－an＋1]x＋1(n≥2)的一个极值点.（Ⅰ）证明数列{an＋1－an}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式.18.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝xlnx.（Ⅰ）求f(x)的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围.19.（本小题满分12分）如图5，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝2，BD＝，PD⊥底面ABCD.（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P—BC—D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），它的一个顶点为M(0，1)，离心率e＝.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝3.求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围.-8-\n21.（本小题满分12分）已知a∈R，函数f(x)＝＋lnx－1，g(x)＝(lnx－1)ex＋x（其中e≈2.718）.（Ⅰ）求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值；（Ⅱ）是否存在实数x0∈(0，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2a|，不等式f(x)≤4的解集为{x|－2≤x≤6}.（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若存在x∈R，使不等式f(x)＋f(x＋2)＜m成立，求实数m的取值范围.玉溪一中2022届高二下学期期中考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.A；2.B；3.B；4.D；5.A；6.B；7.D；8.D；9.B；10.A；11.B；12.B.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.；14.27x＋27y＋4＝0；15.；16.0＜x＜e.三、解答题：本大题共6个小题，共70分.17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）f′(x)＝3an－1x2－3[(t＋1)an－an＋1](n≥2).由题意f′()＝0，即3an－1()2－3[(t＋1)an－an＋1]＝0(n≥2)，∴an＋1－an＝t(an－an－1)(n≥2).-8-\n∵t＞0且t≠1，∴数列{an＋1－an}是以t2－t为首项，t为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，数列{an＋1－an}是等比数列，∴an＋1－an＝(t2－t)tn－1＝(t－1)·tn，∴a2－a1＝(t－1)t，a3－a2＝(t－1)·t2，……，an－an－1＝(t－1)tn－1.相加得an－a1＝(t－1)(t＋t2＋…＋tn－1)，∴an＝tn(n≥2)，当n＝1时，上式也成立，∴an＝tn.18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx.令f′(x)＞0，解得x＞；令f′(x)＜0，解得0＜x＜.从而f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增.∴当x＝时，f(x)取得最小值－.（Ⅱ）依题意得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤lnx＋对于x∈[1，＋∞)恒成立.令g(x)＝lnx＋，则g′(x)＝－＝(1－).当x＞1时，∵g′(x)＝(1－)＞0，故g(x)是(1，＋∞)上的增函数，∴g(x)的最小值是g(1)＝1，∴a的取值范围是(－∞，1].19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为CD2＝BC2＋BD2，所以BC⊥BD.又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.又因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD.而BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD.（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD.所以∠PBD即为二面角P—BC—D的平面角，即∠PBD＝.而BD＝，所以PD＝1.-8-\n分别以DA，DB，DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)，所以AP＝(－1，0，1)，BC＝(－1，0，0)，BP＝(0，－，1).设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则即可解得n＝(0，1，)，所以AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ＝＝＝.20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，得解得∴椭圆方程为＋y2＝1.（Ⅱ）显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋t，代入椭圆方程，得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝，由k1＋k2＝3，得＋＝3，①又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，②由①，②得2k＋(t－1)·＝3，化简，得t＝.则直线AB的方程为y＝kx＋＝k(x＋)－1，∴直线AB过定点(－，－1).又由于直线AB和椭圆有两个不同的交点，则Δ＝36k2t2－12(3k2＋1)(t2－1)＞0，又t＝，解得直线AB的斜率的取值范围是k＜－或k＞0.21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵f(x)＝＋lnx－1，x∈(0，e]，∴f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝a.-8-\n①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值.②若0＜a＜e，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减；当x∈(a，e]时，f′(x)＞0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值lna.③若a≥e，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上的无最小值；当0＜a＜e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为lna；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为.（Ⅱ）∵g(x)＝(lnx－1)ex＋x，x∈(0，e]，∴g′(x)＝(lnx－1)′ex＋(lnx－1)(ex)′＋1＝＋(lnx－1)ex＋1＝(＋lnx－1)ex＋1.由（Ⅰ）可知，当a＝1时，f(x)＝＋lnx－1.此时f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln1＝0，即＋lnx－1≥0.当x0∈(0，e]，ex0＞0，＋lnx0－1≥0，∴g′(x0)＝(＋lnx0－1)ex0＋1≥1＞0.曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x0)＝0有实数解，而g′(x0)＞0，即方程g′(x0)＝0无实数解.故不存在x0∈(0，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直.22.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由f(x)≤4，得|x－2a|≤4，解得2a－4≤x≤2a＋4，又已知不等式f(x)≤4的解集为{x|－2≤x≤6}，所以解得a＝1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋2)，即g(x)＝|x－2|＋|x|＝当x＜0时，g(x)＞2；当－3≤x≤2时，g(x)＝2；-8-\n当x＞2时，g(x)＞2.综上，g(x)≥2，故m＞2.-8-
