吉林省实验中学2022-2022届高三年级第四次模拟考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟试卷满分：150分第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知全集,集合,,则＝()A.B.C.D.2．已知是虚数单位，则=()A. B. C.D.3．若条件，条件，且的充分不必要条件，则的取值范围()A．B．C．D．4.下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．5．()A．2B．C．3D．6.已知x，y满足约束条件，则z=-2x+y的最大值是()A.-1B.-2C.-5D.17．若，且，，，则大小关系为A.B.C.D.8．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )A.B.C．5D．69.e1、e2是不共线的向量，a＝e1＋ke2，b＝ke1＋e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于（ ）-8-\nA．0B．－1C．－2D．±110.将函数y＝sin(6x＋)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是( )A．(，0)B．(，0)C．(，0)D．(，0)11．已知函数的导函数图象如图所示，若为锐角三角形，则下列结论一定成立的是()A．B．C.D．12．已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，．其中，则有()A.B.C.D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题--第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.处的切线方程14．的单调递增区间．15.边长为1的正方形中，为的中点，则16．下面有五个命题：①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图像和函数y＝x的图像有三个公共点；④把函数y＝3sin(2x＋)的图像向右平移得到y＝3sin2x的图像；-8-\n⑤函数y＝sin(x－)在上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本题满分12分)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，b=2，的面积S。18．(本题满分12分)已知单调递增的等比数列满足：，且是和的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，，求使成立的最小的正整数．19.(本题满分12分)已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期;（Ⅱ）求函数的最大值及取最大值时x的集合；（Ⅲ）求函数单调递增区间。-8-\n20(本题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.（Ⅰ）求证：BB1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证：BC1∥平面CA1D；（Ⅲ）求三棱锥B1－A1DC的体积． 21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若，在（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求的取值范围．-8-\n请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22（本小题满分10分）.如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.（Ⅰ）求证：四边形ACBE为平行四边形；（Ⅱ）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．23（本小题满分10分）已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ.（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）当α＝时，求直线l与曲线C交点的极坐标．24．（本小题满分10分）设函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|.（Ⅰ）求不等式f(x)>2的解集；（Ⅱ）若不等式f(x)≤a(x＋)的解集非空，求实数a的取值范围．-8-\n吉林省实验中学2022-2022届高三年级第四次模拟考试数学试卷（文科）答案，，二、填空题：13.14单调递增区间15.16． ①④三、．17．略18.(1)设的公比为，由已知，得，∴ ；(2)， 设 ……………………… ① 则 ……… ②①－② 得 ∴ 故 ∴ ， 即， ∴ 满足不等式的最小的正整数为5．19.略20解析 (1)证明：∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1.∴CD⊥BB1.又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC.(2)证明：连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点．又D是AB的中点，则DE∥BC1.又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，-8-\n∴BC1∥平面CA1D.(3)由(1)知CD⊥平面AA1B1B，故CD是三棱锥C－A1B1D的高．在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，CD＝.又BB1＝2，∴VB1－A1DC＝VC－A1B1D＝S△A1B1D·CD＝A1B1×B1B×CD＝×2×2×＝.21.解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅲ）由题意可知，在上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在上的最小值min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在上单调递减，∴，∴，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在上单调递增，∴min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．22．解析 (1)证明：因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.-8-\n所以∠ABC＝∠BAE.所以AE∥BC.因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．(2)因为AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB·(EB＋BD)．即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4.根据(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6.设CF＝x，由BD∥AC，得＝.即＝，解得x＝，即CF＝.23．解析 (1)由ρ＝2sinθ－2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ.所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.曲线C的极坐标方程化为参数方程为(φ为参数)．(2)当α＝时，直线l的方程为化成普通方程为y＝x＋2.由解得或所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(2，)，(2，π)．24．答案 (1)(－∞，)∪(3，＋∞)(2)(－∞，－)∪[，＋∞)解析 (1)原不等式等价于或或解得不等式的解集为(－∞，)∪(3，＋∞)．(2)f(x)＝|x－1|＋|x－3|＝f(x)图像如图所示，其中A(1,1)，B(3,2)，直线y＝a(x＋)绕点(－，0)旋转，由图可得不等式f(x)≤a(x＋)的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－)∪[，＋∞)．-8-
