吉林省实验中学2022届高三年级第四次模拟考试数学（理科）学科试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x2＜4}，则P∩Q＝( )A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－3＜x＜－1}C．{x|1＜x＜4}D．{x|－2＜x＜1}2.已知复数z满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.若向量a，b满足：(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a与b的夹角为（）A．B．C．D．4.“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )A．3B．1C．－1D．－36.已知sinα＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限的角，那么tanβ的值是( )A. B．－C．7D．－77.一物体运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，物体做直线运动，则此物体在时间内的位移为( )-11-\nA. B.C.D.8.设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为( )A．2n B．2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－29.若实数x、y满足则的取值范围是( )A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R.(1)讨论a＝1时，f(x)的单调性、极值；(2)求证：在(1)的条件下，|f(x)|＞g(x)＋；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．请考生在第22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程-11-\n已知圆锥曲线C：为参数）和定点,是此圆锥曲线的左、右焦点。(Ⅰ)以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；(Ⅱ)经过点，且与直线垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲(1)解不等式|x－1|＋|x－4|≥5.(2)求函数y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值．-11-\n2022届高三毕业班第四次模拟考试数学（理）答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）123456789101112DACCDDADDCBA二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、14、915、16、三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）解：，………3分（I）函数的最小正周期………………………5分（2）当时，………………………6分当时，………………8分当时，………………10分得函数在上的解析式为-11-\n。………………………12分18．（本小题满分12分）解析： (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.…………………2分记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.……………………5分答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.……………………6分P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝2)＝×＋×＝；P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝；P(ξ＝6)＝×＋×＝；P(ξ＝8)＝×＝.……………………8分甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ02468P.……………………10分-11-\n所以Eξ＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝..……………………12分19.（本小题满分12分）解析 (1)证明：在△BAD中，∵AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，∴由余弦定理可得BD＝..…2分∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD..……………3分又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴GD⊥BD..…………………4分又AD∩GD＝D，∴BD⊥平面ADG..……………………6分(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz..……………………7分∵∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，则有A(1,0,0)，B(0，，0)，G(0,0,1)，E(0，，2)，C(－1，，0)．∴＝(－1，，2)，＝(－1,0,1)．.……………………8分设平面AEFG的法向量为n＝(x，y，z)，故有，令x＝1，得y＝－，z＝1.n＝(1，－，1)．.……………10分而平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)，∴cos〈，n〉＝＝.故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为..……………………-11-\n12分20.（本小题满分12分）解析 (1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x，.………………1分设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由得x＝±1，.………………2分所以|AB|＝|x1－x2|＝2..………………3分又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以h＝，S△ABC＝|AB|·h＝2..………………5分(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m.由得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.因为A，B在椭圆上，所以Δ＝－12m2＋64＞0解得－＜m＜..………………6分设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝..………………8分又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝.所以|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11(－＜m＜)．.………………10分所以当m＝－1时，AC边最长．-11-\n此时AB所在直线的方程为y＝x－1..………………12分21.（本小题满分12分）解析 (1)当a＝1时，f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－＝，∴当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；.………………1分当1＜x≤e时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增．.………………2分∴f(x)的极小值为f(1)＝1..………………3分(2)证明：∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]内的最小值为1，∴f(x)＞0，|f(x)|min＝1..………4分令h(x)＝g(x)＋＝＋，h′(x)＝，当0＜x＜e时，h′(x)＞0，h(x)在(0，e]内单调递增．.………………5分∴h(x)max＝h(e)＝＋＜＋＝1＝|f(x)|min，.………………6分∴在(1)的条件下，|f(x)|＞g(x)＋..………………7分(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，f′(x)＝a－＝.①当a≤0时，f(x)在(0，e]内单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，此时f(x)无最小值；.…9分②当0＜＜e时，f(x)在(0，)内单调递减，在(，e]内单调递增，f(x)min＝f()＝1＋lna＝3，a＝e2，满足条件；.………………10分-11-\n③当≥e时，f(x)在(0，e]内单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，此时f(x)无最小值．.……11分综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时f(x)有最小值3..………………12分22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝..………………2分又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，.………………4分从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB..………………5分(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF..………………7分类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF..………………9分又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC..………………10分23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程23．（Ⅰ）C：，轨迹为椭圆，其焦点-11-\n即即…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ），,l的斜率为，倾斜角为，所以l的参数方程为（t为参数）代入椭圆C的方程中，得：因为M、N在的异侧…………10分24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲1．解：(1)当x<1时，1－x＋4－x≥5，得x≤0，此时x≤0；当1≤x≤4时，x－1＋4－x≥5，得3≥5，此时x∈；当x>4时，x－1＋x－4≥5，得x≥5，此时x≥5.综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪[5，＋∞)．…………5分(2)因为|x－1|＋|x－4|≥|(x－1)－(x－4)|＝3，当且仅当1≤x≤4时取等号；x2－4x＝(x－2)2－4≥－4，当且仅当x＝2时取等号．故|x－1|＋|x－4|＋x2－4x≥3－4＝－1，当x＝2时取等号．-11-\n所以y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值为－1.…………10分-11-
