长春外国语学校2022-2022学年第一学期期中考试高三年级数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“若，则”的否命题是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则2.下列四个方程中有实数解的是（）A.B.C.D.3.下列命题中，真命题是（）A.B.C.D.4．函数的零点位于下列哪个区间（）A.B.C.D.5.函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，的取值范围是（）A.B.C.D.6.若函数的定义域是，则函数的定义域是A.B..C.D.7.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是（）A.1B.C.D.8.设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为( )7\nA．B．C．5D．39.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.30种B.35C.42D.48种10.(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是（）A.56B.84C.112D.16811.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图像可能是（）A．B．C．D．12.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22-24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.曲线在点处的切线方程为.14..15.计算=.7\n16.函数是定义在上的奇函数，且，对任意的都有成立，.17.已知，命题对任意，不等式恒成立，命题存在，使不等式成立．(1)若为真命题，求的取值范围；(2)若为假，为真，求的取值范围．18.已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．19.如图，正方体的棱长为1，，求：（1）与所成角；（2）求点B到与平面的距离；（3）平面与平面所成的二面角.20．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．21.前不久，省社科院发布了2022年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城市”．随后，师大附中学生会组织部分同学，7\n用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示选到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．22.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.7\n参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACDBCBDAADCA二、填空题13.14.15.216.0三、解答题17.(1)令，则在上为减函数，因为，所以当时，不等式恒成立，等价于，解得．(2)不等式即，∵，∴，所以，∵，∴即命题：．若为假，为真，则中有且只有一个是真的若为真，为假，那么，则无解；若为假，为真，那么，则或．综上所述，或．18.(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(2)将代入②，得t2＋5t＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t1，t27\n，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.19.(1);(2)(3)20.(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为，当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.21.22.（1）函数的定义域为．．当时，，故在单调递增；当时，，故在单调递减；当时，令，解得．当时，，在单调递增；7\n当时，．在单调递减．（2）因为，所以当时，恒成立．令，则，因为，由得，且当时，；当时，．所以在上递增，在上递减．所以，故．7
