长春外国语学校2022-2022学年第一学期期中测试高三年级数学试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝( )A．{0,1,2}B．{0,1,3}C．{0,2,3}D．{1,2,3}2.函数y＝的定义域为( )A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞)D．(2,4)∪(4，＋∞)3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝lnxB．y＝x2＋1C．y＝sinxD．y＝cosx4.在△ABC中，sin2A=sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的值是( )A.B.C.D.5..已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)且a∥b，则等于( )A．B．C.D．6.在△ABC中，已知sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形7.在△ABC中，有如下三个命题：①＋＋＝0；②若D为BC边中点，则＝(＋)；③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形．其中正确命题的序号是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③8.下列命题中，真命题是( )A．∃x0∈R，sin2＋cos2＝B．∀x∈(0，π)，sinx>cosxC．∀x∈(0，＋∞)，x2＋1>xD．∃x0∈R，x＋x0＝－19.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为( )7\nA．(30＋30)mB．(30＋15)mC．(15＋30)mD．(15＋15)m10.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则( )A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b11.点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )A．1B.C.D.12.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.14.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.15.设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数．以上正确结论的序号为________．16.已知函数f(x)＝x3－2x2＋x＋a，g(x)＝－2x＋，若对任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[2,4]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)设p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：函数y＝的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．7\n18.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．19.(本小题满分12分)已知向量m＝(3sinA，cosA)，n＝，m·n＝sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等比数列，且·＝18，求c的值．20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f(＋)＝，且sinB＋sinC＝，求△ABC的面积．21.(本小题满分12分)已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ(其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)．(1)写出曲线C的直角坐标方程；(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M，N，设P(4,2)，求|PM|＋|PN|的取值范围．7\n22.(本小题满分12分)已知函数,其中为自然对数的底数.(1)若在处取得极小值，求的值及函数的单调区间；(2)若当时，恒成立，求的取值范围．7\n参考答案一、选择题题号123456789101112答案DCDBBADCABDA二、填空题13.14.15.②④16.三、解答题17.【解析】由题意：对于命题:关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；，即；对于命题:，函数y＝的定义域为R，,且∴,即.∵为真，为假，∴一真一假，①真假时，,②假真时，.综上，.18.【解析】(1)由，得.从而C的直角坐标方程，即.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝时，ρ＝-2，所以N(-2,),即.(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为(0，-2)，所以P点的直角坐标为(1，-1)，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为(ρ∈R)，或(ρ∈R)(两个结果均可)．19.【解析】(1)∵m＝(3sinA，cosA)，n＝，m·n＝sin2C，∴sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，即sinC＝sin2C，∵sinC≠0，∴cosC＝，又C为三角形的内角，∴C＝.7\n(2)∵sinA，sinC，sinB成等比数列，∴sin2C＝sinAsinB，∴c2＝ab，又·＝18，∴abcosC＝18，∴ab＝36，故c2＝36，∴c＝6.20.【解析】(1)f(x)＝2sinxcosx－2cos2x+＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)由f(＋)＝2sin[2(＋)－]＝2sinA＝，又A为锐角，则A＝，由正弦定理可得2R＝＝＝，sinB＋sinC＝＝，则b＋c＝·＝13，由余弦定理可知，cosA＝＝＝，可求得bc＝40，再由，得21.【解析】(1)∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x.(2)直线l的参数方程(t为参数)，代入x2＋y2＝4x，得t2＋4(sinα＋cosα)t＋4＝0，∴∴sinα·cosα>0，又0≤α<π，∴α∈，且t1<0，t2<0.∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝4(sinα＋cosα)＝4sin，由α∈，得α＋∈，∴<sin≤1，故|PM|＋|PN|的取值范围是(4,4]．22.【解析】（1）易知的定义域为，由，得.由题意可知，，所以，，所以，.令，则.当时，，所以在7\n上单调递增，且，所以当时，，当时，，所以当时，，当时，.故在上单调递减，在上单调递增.(2)得，①当时，，所以在上单调递增，.（符合题意）②当时，，当时，.（i）当时，因为，所以，，所以，在上单调递增，.（符合题意）（ii）当时，存在，满足，所以，在上单调递减，在上单调递增，故，不满足时，恒成立.综上所述，的取值范围是.7
