天全中学2022—2022学年上期高二第9周周考数学试题班级：姓名：成绩：一、选择题(本大题共5个小题，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ） A．B．C．D．2．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ） A．B．C．D．3．如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ） A．B．C．D．4．正四棱锥S﹣ABCD中，SA=AB，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为（ ） A．B．C．D．5．如图，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（ ）A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45° C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC 二、填空题(本大题共3个小题，把正确答案填在题中横线上)6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是BC，A1B1的中点，则异面直线AD1与EF所成角的余弦值是 _________ ．7-6-\n．如图，△ABC是正三角形，E、F分别为线段AB、AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCF，设=λ，当AE⊥CF时，λ的值为 _________ ． 8．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°．将三角形ABD沿对角线BD折到A'BD，使得二面角A'﹣BD﹣C的大小为60°，则A'D与平面BCD所成角的正弦值是 _________ ；四面体A'BDC的体积为 _________ ．9．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．（1）若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的 _________ 心；（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的 _________ 心；（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的 _________ 心；（4）若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的 _________ 心．三、解答题(本大题共2个大题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)10．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣B的大小． -6-\n11．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2．（Ⅰ）求异面直线EF与BC所成角的大小；（Ⅱ）若二面角A﹣BF﹣D的平面角的余弦值为，求AB的长．-6-\n天全中学2022—2022学年上期高二第9周周考数学参考答案一．选择题1．B2．D3．D4．B5．D二．填空题6． ．7．或28．A'D与平面BCD所成角的正弦值是 ；四面体A'BDC的体积为 9．（1） 垂 心；（2） 内 心；（3） 垂 心；（4） 外 心．三．解答题（共5小题）10：解：（Ⅰ）取BC中点F，连接AF，则CF=AD，且CF∥AD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF．∵PB=AB=BF=1，∴AB⊥BC，∴PA=PF=AF=．∴△PAF是正三角形，∠PAF=60°即异面直线PA与CD所成的角等于60°．（Ⅱ）在Rt△PBD中，PB=1，BD=，∴PD=∵DE=2PE，∴PE=则，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD、由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．∴CD⊥BD、又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD、∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE∵CD∩PD=D，∴BE⊥平面PCD、（Ⅲ）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD、∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD、过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD、∴∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角．在Rt△ABD中，AO=．在Rt△PAD中，AH=．在Rt△AOH中，sin∠AHO=．∴∠AHO=60°．即二面角A﹣PD﹣B的大小为60°．11：解：（Ⅰ）延长AD，FE交于Q．∵ABCD是矩形，-6-\n∴BC∥AD，∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得∠AQF=30°．即异面直线EF与BC所成角为30°…（Ⅱ）方法一：设AB=x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，∴AB⊥DG．∴DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则DH⊥BF，∴∠DHG为二面角A﹣BF﹣D的平面角．在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=．在直角△BAF中，由=sin∠AFB=，得=，∴GH=．在直角△DGH中，DG=，GH=，得DH=．∵cos∠DHG==，得x=，∴AB=．…方法二：设AB=x．以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则F（0，0，0），A（﹣2，0，0），E（0，，0），D（﹣1，，0），B（﹣2，0，x），∴=（1，﹣，0），=（2，0，﹣x）．∵EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取=（0，1，0）．设=（x1，y1，z1）为平面BFD的法向量，则∴可取=（，1，）．-6-\n∵cos＜，＞==，得x=，∴AB=．…-6-
