2022-2022学年安徽省安庆市怀宁中学高三（下）期初数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合M={x||x﹣1|＜1}，集合N={x|x2﹣2x＜3}，则M∩∁RN=()A．{x|0＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0或2≤x＜3}D．∅2．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=()A．﹣1B．1C．﹣5D．53．已知直线l，m，平面α，β满足l⊥α，m⊂β，则“l⊥m”是“α∥β”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若=﹣2+λ，则λ=()A．1B．2C．3D．45．由直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是()A．2ln2B．2ln2﹣1C．ln2D．6．如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为()20A．B．C．D．7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=()A．27B．81C．243D．7298．设f为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕关于f的极小值a﹐试问下列哪一个选项是正确的()A．﹣20＜a＜﹣10B．﹣10＜a＜0C．0＜a＜10D．10＜a＜209．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为()A．B．4C．D．910．设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是()A．（﹣∞，2）B．（0，4）C．（6，+∞）D．（7，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD=2，则直线AD与底面BCD所成角为__________．12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为__________．2013．若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是__________．14．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为__________．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面积为，则AC边上的中线BD的最小值__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx﹣a，x∈[0，]．（1）若函数f（x）的最大值为1，求实数a的值；（2）若方程f（x）=1有两解，求实数a的取值范围．17．已知数列{an}，Sn是其前n项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N*）（Ⅰ）求证：数列{an+}为等比数列；（Ⅱ）记Tn=S1+S2+…+Sn，求Tn的表达式．18．为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．（Ⅰ）当x∈[30，50]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？（Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少．2019．（13分）已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为，求a：b的值．20．（13分）已知是平面上的两个定点，动点P满足．（1）求动点P的轨迹方程；（2）已知圆方程为x2+y2=2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点，设Q为AB的中点，求|OQ|长度的取值范围．21．（13分）已知函数f（x）=x4+ax3+bx2+c，其图象在y轴上的截距为﹣5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x=0，x=2时取得极小值．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f（x）的图象关于此直线对称，并证明你的结论；（Ⅲ）设使关于x的方程f（x）=λ2x2﹣5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A，且两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3，3]，λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．2022-2022学年安徽省安庆市怀宁中学高三（下）期初数学试卷（理科）20一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合M={x||x﹣1|＜1}，集合N={x|x2﹣2x＜3}，则M∩∁RN=()A．{x|0＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0或2≤x＜3}D．∅考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：分别求出关于M，N的不等式的解集，求出N的补集，从而求出其与M的交集．解答：解：∵M={x||x﹣1|＜1}={x|0＜x＜2}，N={x|（x﹣3）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴∁RN={x|x≥3或x≤﹣1}，∴M∩∁RN=∅，故选：D．点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=()A．﹣1B．1C．﹣5D．5考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．解答：解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选D．点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．3．已知直线l，m，平面α，β满足l⊥α，m⊂β，则“l⊥m”是“α∥β”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：当α∥β时，由线面垂直的性质可得l⊥m，故必要性成立；当l⊥m时，不一定有α∥β，故充分性不成立．解答：解：由于l⊥α，α∥β可得l⊥β，又m⊂β，故有l⊥m，故必要性成立．当l⊥α，直线m⊂平面β，l⊥m时，若直线m是α与β的交线时，α⊥β，不一定有α∥β，故充分性不成立．所以，l⊥m是α∥β的必要不充分条件，20故选；C．点评：本题考查充分条件、必要条件的定义，两个平面平行的判定，证明充分性不成立是解题的难点．4．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若=﹣2+λ，则λ=()A．1B．2C．3D．4考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据A、M、B三点共线，可得存在实数μ使=μ成立，化简整理得=，结合已知等式建立关于λ、μ的方程组，解之即可得到实数λ的值．解答：解：∵△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，∴存在实数μ，使得=μ，即化简得=，∵=﹣2+λ，∴结合平面向量基本定理，得，解之得λ=3，μ=﹣故选：C点评：本题给出A、M、B三点共线，求用向量、表示的表达式，着重考查了平面向量的线性运算和平面向量基本定理等知识，属于基础题．5．由直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是()A．2ln2B．2ln2﹣1C．ln2D．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示出图形的面积，求出原函数，计算即可．解答：解：由题意，直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部分，20面积为=lny=ln2﹣ln=2ln2；故选A．点评：本题考查定积分的运用，利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积，考查了学生的计算能力，属于基础题．6．如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为()A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：探究型；空间位置关系与距离．分析：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方体，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，由此可得结论．解答：解：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方体由俯视图可得，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，顶点到正方体上底面的距离为1由此可知B满足条件故选B．20点评：本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题．7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=()A．27B．81C．243D．729考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27从而可求a2，结合S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）考虑n=1可得，S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比q，代入等比数列的通项公式可求a6解答：解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选C点评：本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和公式及通项公式，属基础题．8．设f为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕关于f的极小值a﹐试问下列哪一个选项是正确的()A．﹣20＜a＜﹣10B．﹣10＜a＜0C．0＜a＜10D．10＜a＜20考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒则依据表格可画出其图象的大致形状，从而判断极小值的取值范围．解答：解﹕方程f（x）﹣k=0的相异实根数可化为方程f（x）=k的相异实根数，方程f（x）=k的相异实根数可化为函数y=f（x）与水平线y=k两图形的交点数﹒依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕（1）当f（x）的最高次项系数为正时，（2）当f（x）的最高次项系数为负时，20因极小值点a位于水平线y=0与y=﹣10之间﹐所以其y坐标α（即极小值）的范围为﹣10＜α＜0﹒故选：B﹒点评：本题考查了方程的根与函数的图象的应用及数形结合思想的应用，属于中档题．9．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为()A．B．4C．D．9考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出4e12+e22的最小值．解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴=4c2，③①2+②2，得=，④将④代入③，得，∴4e12+==+=≥=．故选：C．20点评：本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．10．设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是()A．（﹣∞，2）B．（0，4）C．（6，+∞）D．（7，+∞）考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论a=0，a＞0，a＜0结合函数的单调性从而得到a的范围．解答：解：a=0时，g（x）=0，不存在g（x0）＜0，a＜0时，由g（x）=ax﹣2a单调递减且过点（2，0），当x＞2时g（x）=ax﹣2a＜0，而x＞2时f（x）＞7﹣a＞0，不存在f（x0）＜0，a＞0时，由g（x）=ax﹣2a单调递增且过点（2，0）知：当x＜2时g（x）=ax﹣2a＜0，则命题转化为不等式x2﹣ax+a+3＜0在（﹣∞，2）上有解，若＜2即0＜a＜4，此时需满足f（）=﹣+a+3＜0，解得a＞6（舍）或a＜﹣2（舍），当≥2即a≥4时，此时需满足f（2）=7﹣a＜0，解得a＞7，综上可得实数a的取值范围是（7，+∞），故选：D．点评：本题考查了函数的单调性，考查了分类讨论思想，是一道中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD=2，则直线AD与底面BCD所成角为60°．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：根据线面角的定义，找出直线AD在底面BCD上的射影即可得到结论．解答：解：取BC的中点E，连结AE，DE，∵AB=AC=BD=CD=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，则BC⊥面AED，则AD在底面BCD的射影为DE，则∠ADE即为直线AD与底面BCD所成的角，∵AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD=2，∴AE=，DE=，则三角形ADE为正三角形，则∠ADE=60°，故答案为：60°20点评：本题考查异面直线所成的角，转化为平面角是解决问题关键，属中档题．12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：求得sinβ和cosβ的值，根据已知条件判断出α+β的范围，进而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解答：解：∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，∴0＜α+β＜，∵0＜sin（α+β）=＜，∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，∵tanβ=＞1，∴＞β＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×+×=．故答案为：．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．解题过程中判断出α+β的范围是解题的最重要的一步．2013．若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（﹣4，2）．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可．解答：解：可行域为△ABC，如图，当a=0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞kAC=﹣1，a＜2．当a＜0时，k=﹣＜kAB=2a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故答案为：（﹣4，2）．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为y2=3x．．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；数形结合；待定系数法．分析：根据过抛物线y220=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而，，且，，可求得p的值，即求得抛物线的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而，，且，∴，得y2=3x．故答案为：y2=3x．点评：此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面积为，则AC边上的中线BD的最小值．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：求出ac=6，||2=（）2=，利用基本不等式计算可得AC边上的中线BD的最小值．解答：解：∵∠B=30°，△ABC的面积为，∴=，∴ac=6∴||2=（）2=≥=，当且仅当a=c=时取等号，∴AC边上的中线BD的最小值为．点评：本题考查余弦定理和基本不等式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题．20三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx﹣a，x∈[0，]．（1）若函数f（x）的最大值为1，求实数a的值；（2）若方程f（x）=1有两解，求实数a的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=﹣a．由于x∈[0，]，可得∈，∈．可得f（x）max=2﹣a=1，解出即可．（2）方程f（x）=1，化为=a+1，由于x∈[0，]，可得∈．要使方程f（x）=1有两解，可得，解出即可．解答：解：（1）函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx﹣a=+cosx﹣a=﹣a．∵x∈[0，]，∴∈．∴∈．∴f（x）max=2﹣a=1，∴a=1．（2）方程f（x）=1，化为=a+1，∵x∈[0，]，∴∈．要使方程f（x）=1有两解，则，解得a∈．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差的正弦公式，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．已知数列{an}，Sn是其前n项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N*）（Ⅰ）求证：数列{an+}为等比数列；（Ⅱ）记Tn=S1+S2+…+Sn，求Tn的表达式．20考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由3an=2Sn+n，类比可得3an﹣1=2Sn﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减，整理即证得数列{an+}是以为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得an+=•3n⇒an=（3n﹣1），Sn=﹣，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得Tn的表达式．解答：（Ⅰ）证明：∵3an=2Sn+n，∴3an﹣1=2Sn﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减得：3（an﹣an﹣1）=2an+1（n≥2），∴an=3an﹣1+1（n≥2），∴an+=3（an﹣1+），又a1+=，∴数列{an+}是以为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an+=•3n﹣1=•3n，∴an=•3n﹣=（3n﹣1），∴Sn=[（3+32+…+3n）﹣n]=（﹣n）=﹣，∴Tn=S1+S2+…+Sn=（32+33+…+3n+3n+1）﹣﹣（1+2+…+n）=•﹣﹣=﹣．点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于难题．18．为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．20（Ⅰ）当x∈[30，50]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？（Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少．考点：函数最值的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，及处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；（Ⅱ）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数，再分段求出函数的最值，比较其大小，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）当x∈[30，50]时，设该工厂获利为S，则S=20x﹣（x2﹣40x+1600）=﹣（x﹣30）2﹣700所以当x∈[30，50]时，S＜0，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，才能使工厂不亏损（Ⅱ）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：①当x∈[10，30）时，P（x）=，∴P′（x）==∴x∈[10，20）时，P′（x）＜0，P（x）为减函数；x∈时，P′（x）＞0，P（x）为增函数，∴x=20时，P（x）取得最小值，即P=48；②当x∈[30，50]时，P（x）=﹣40≥﹣40=40当且仅当x=，即x=40∈[30，50]时，P（x）取得最小值P（40）=40∵48＞40，∴当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．点评：本题考查函数模型的构建，考查函数最值的求解，正确运用求函数最值的方法是关键．19．（13分）已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为，求a：b的值．20考点：平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间向量及应用．分析：（I）根据线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC．（II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值为，即可求a：b的值．解答：解：（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．（II）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角又，且从而∴所以9a2=16b2，即．点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．2020．（13分）已知是平面上的两个定点，动点P满足．（1）求动点P的轨迹方程；（2）已知圆方程为x2+y2=2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点，设Q为AB的中点，求|OQ|长度的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由是平面上的两个定点，动点P满足．可得椭圆的a，c的值，进而求出b值，可得动点P的轨迹方程；（2）如果圆的切线斜率不存在，可得，如果圆的切线斜率存在，设圆的切线方程为y=kx+m，联立椭圆方程，由韦达定理及直线AB与圆x2+y2=2相切，可得OA⊥OB，进而由弦长公式和基本不等式可求出|OQ|长度的取值范围．解答：解：（1）∵是平面上的两个定点，动点P满足．依椭圆的定义知，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且，所以动点P的轨迹方程为．（2）如果圆的切线斜率不存在，则AB方程为，此时，．如果圆的切线斜率存在，设圆的切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程得：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣6=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程①的解，所以②因为x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=，把②式代入得：③又因为直线AB与圆x2+y2=2相切，所以，即m2=2（1+k2），20代入③式得x1x2+y1y2=0，因此OA⊥OB，所以．由m2=2（1+k2）得，因为，所以（当且仅当k=0时取等号）．k≠0时，，因此|AB|≤3（当且仅当时取等号）．综上，，所以．点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，轨迹方程，解答（1）的关键是熟练掌握椭圆的定义，而（2）的综合性强，运算强度大，是高考常见的压轴题型，属于难题．21．（13分）已知函数f（x）=x4+ax3+bx2+c，其图象在y轴上的截距为﹣5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x=0，x=2时取得极小值．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f（x）的图象关于此直线对称，并证明你的结论；（Ⅲ）设使关于x的方程f（x）=λ2x2﹣5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A，且两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3，3]，λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）利用函数在y轴上的截距为﹣5，可求得c=﹣5．根据函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，可得x=1时取得极大值，当x=0，x=2时函数f（x）取得极小值．可知x=0，x=1，x=2为函数f（x）的三个极值点，从而f'（x）=0的三个根为0，1，2，∴由此可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）假设存在对称轴方程为x=t，则f（t+x）=f（t﹣x）对x∈R恒成立．代入化简得（t﹣1）x3+（t3﹣3t2+2t）x=0对x∈R恒成立，从而可出对称轴x=1．（Ⅲ）x4﹣4x3+4x2﹣5=λ2x2﹣5恰好有三个不同的根，等价于x4﹣4x3+4x2﹣λ2x2=0恰好有三个不同的根，由于x=0是一个根，所以方程x2﹣4x+4﹣λ2=0应有两个非零的不相等的实数根，从而可求λ的取值范围．要使m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3，3]，λ∈A恒成立，可转化为m2+tm+2≤0对任意t∈[﹣3，3]恒成立，构造函数g（t）=tm+m2+2，只要20，从而可知不存在实数m，使得不等式m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3，3]，λ∈A恒成立．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x4+ax3+bx2+c，在y轴上的截距为﹣5，∴c=﹣5．∵函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴x=1时取得极大值，又当x=0，x=2时函数f（x）取得极小值．∴x=0，x=1，x=2为函数f（x）的三个极值点，即f'（x）=0的三个根为0，1，2，∴f'（x）=4x3+3ax2+2bx=4x（x﹣1）（x﹣2））=4x3﹣12x2+8x．∴a=﹣4，b=4，∴函数f（x）的解析式：f（x）=x4﹣4x3+4x2﹣5．（Ⅱ）若函数f（x）存在垂直于x轴的对称轴，设对称轴方程为x=t，则f（t+x）=f（t﹣x）对x∈R恒成立．即：（t+x）4﹣4（t+x）3+4（t+x）2﹣5=（t﹣x）4﹣4（t﹣x）3+4（t﹣x）2﹣5．化简得（t﹣1）x3+（t3﹣3t2+2t）x=0对x∈R恒成立．∴∴t=1．即函数f（x）存在垂直于x轴的对称轴x=1．（Ⅲ）x4﹣4x3+4x2﹣5=λ2x2﹣5恰好有三个不同的根，即x4﹣4x3+4x2﹣λ2x2=0恰好有三个不同的根，即x2（x2﹣4x+4﹣λ2）=0，∵x=0是一个根，∴方程x2﹣4x+4﹣λ2=0应有两个非零的不相等的实数根，∴△=16﹣4（4﹣λ2）=4λ2＞0，且x1x2=4﹣λ2≠0，∴λ≠0，﹣2，2．若存在实数m，使得不等式m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3，3]，λ∈A恒成立．∵|x1﹣x2|==2|λ|＞0，要使m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3，3]，λ∈A恒成立，只要m2+tm+2≤0对任意t∈[﹣3，3]恒成立，令g（t）=tm+m2+2，则g（t）是关于t的线性函数．∴只要解得，无解∴不存在实数m，使得不等式m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3，3]，λ∈A恒成立．点评：本题考查多项式的导数、函数的图象性质、二次方程根的判断，等价转换、化归思想等数学思想方法．解题时对恒成立问题的处理是关键．20
