安徽省宿松县凉亭中学2022-2022学年高三上学期期中考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（选择题共共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R，集合A=｛x|y=｝,B={y|y=},则=()A.[-1,0]B.(-1,0)C.D.2.已知函数，则=（）A.B.C.D.3.下列命题中，真命题是（）A.对于任意x∈R，；B.若“p且q”为假命题，则p,q均为假命题；C.“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是“”；D.存在m∈R，使是幂函数，且在上是递减的.4.设等比数列的前n项和为，若，则公比q=（）A.1或-1B.1C.-1D.5.已知实数x,y满足约束条件，则的最大值为（）A.B.C.D.6.设向量，其中，若，则=（）A.B.C.D.7.设，若，则的最小值为（）A．B.6C.D.8.中内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,若，-17-\n则角A=()A.B.C.D.9.已知在处的极值为10，则（）A.0或-7B.-7C.0D.710.已知函数，则函数的大致图像为（）11.在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.12.已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.13.已知，则的值为________.14..某空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是________．15.已知双曲线C：的离心率为，AB为左、右顶点，点P-17-\n为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若直线PA，PB，PO的斜率分别为，记，则m的取值范围为________.16.设集合为平面直角坐标系xoy内的点集，若对于任意，存在，使得，则称点集M满足性质P.给出下列四个点集：①②③④其中所有满足性质P的点集的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..17.已知函数，若函数的图像与直线(a为常数)相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.(1)求的表达式及a的值；(2)将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数，求其单调增区间.18.(本小题满分12分)已知正项数列中，其前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，，求19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体PMBCA中，平面PAC平面ABC，PAC是边长为2的正三角形，PM//BC，且,.（1）求证：PABC；（2）若多面体PMBCA的体积为,求PM的长.-17-\n20．（本小题满分12分）设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，k为整数，为的导函数，且当时，，求k的最大值．21.（本小题满分12分）如图，抛物线4x的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过A点作直线交于C、D两点，射线OC、OD分别交于E、F两点，记△OEF，△OCD的面积分别为，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．22.（本小题满分10分）已知函数.（1）解不等式；-17-\n（2）若a>0,求证：.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R，集合A=｛x|y=｝,B={y|y=},则=()A.[-1,0]B.(-1,0)C.D.【知识点】函数的定义域；函数的值域；集合运算.【答案】【解析】C解析：A=(-1，1)，B=，故=，所以选C.【思路点拨】先化简集合A、B，再由补集、交集的意义求得结论.2.已知函数，则=（）A.B.C.D.【知识点】分段函数的函数值.【答案】【解析】C解析：∵，∴=，故选C.【思路点拨】先分析在哪两个整数之间，利用x≥1时的条件，把其变换到x<1的情况，再用x<1时的表达式求解.3.下列命题中，真命题是（）A.对于任意x∈R，；B.若“p且q”为假命题，则p,q均为假命题；C.“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是“”；D.存在m∈R，使是幂函数，且在上是递减的.【知识点】充分条件；必要条件；基本逻辑联结词及量词.【答案】【解析】D解析：x=2时不成立，所以A是假命题；若“p且q”为假命题，则p,q可以一真一假，所以B是假命题；因为时，向量可能共线反向，即-17-\n夹角是180°，不是钝角，所以C是假命题；而当m=2时，是幂函数，且在上是递减的，所以D成立.故选D.【思路点拨】逐个分析每个命题的真假.4.设等比数列的前n项和为，若，则公比q=（）A.1或-1B.1C.-1D.【知识点】等比数列及其前n项和.【答案】【解析】A解析：当q=1时，成立；当q≠1时，，综上得q=1或-1,故选A.【思路点拨】分q=1与q≠1两种情况讨论求解.5.已知实数x,y满足约束条件，则的最大值为（）A.B.C.D.【知识点】线性规划的应用.【答案】【解析】B解析：因为，所以要求z的最大值，只需求的最小值，画出可行域可得，使取得最小值的最优解为A（，2），代入得所求为，故选B.【思路点拨】把目标函数化为，则只需求可行域中的点（x,y）与点（-1，-1）确定的直线的斜率的最小值即可.6.设向量，其中，若，则=（）A.B.C.D.【知识点】向量数量积的坐标运算；已知三角函数值求角.【答案】【解析】D解析：因为，-17-\n所以，又因为，所以因为，所以=，故选D.【思路点拨】利用向量的模与向量数量积的关系，转化为数量积运算，从而得，再由得结论.7.设，若，则的最小值为（）A．B.6C.D.【知识点】基本不等式【答案】【解析】A解析：由题可知故选A.【思路点拨】根据不等式成立的条件，可凑出应用基本不等式的条件，最后找出结果.8.中内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,若，则角A=()A.B.C.D.【知识点】正弦定理；余弦定理【答案】【解析】A解析：由已知条件可知，再由余弦定理可知，【思路点拨】由正弦定理可得到角与边的关系，再根据余弦定理可求出角的余弦值.9.已知在处的极值为10，则（）A.0或-7B.-7C.0D.7【知识点】利用导数研究函数的极值【答案】【解析】B解析：=3x2+2ax+b，由题意得，=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a2=10②，-17-\n联立①②解得或，当a=﹣3，b=3时，=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2，x＜1或x＞1时，＞0，所以x=1不为极值点，不合题意；经检验，a=4，b=﹣11符合题意，所以故答案为：B【思路点拨】求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值，注意检验．10.已知函数，则函数的大致图像为（）【知识点】函数的图象与性质【答案】【解析】A解析：由函数的奇偶性可知函数为非奇非偶函数，所以排除B,C,再令，说明当x为负值时，有小于零的函数值，所以排除D.【思路点拨】根据函数的性质排除不正确的选项，现由特殊值判定函数的情况，最后可得解.11.在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.【知识点】直线和圆的方程的应用【答案】【解析】C解析：将圆C的方程整理为标准方程得：（x﹣4）2+y2=1，∴圆心C（4，0），半径r=1，∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与y=kx﹣2有公共点，∵圆心（4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=≤2，解得：0≤k≤．故答案为：[0，]．-17-\n【思路点拨】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，得到以C为圆心，2为半径的圆与直线y=kx﹣2有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．12.已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【知识点】函数与方程【答案】【解析】B解析：由题可知有一个根，即，所以可变为与只有一个交点的问题，由两个函数的图象可知，所以选B.【思路点拨】函数与方程的问题，也是数形结合的问题，根据函数的图象关系可求出结果.【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.13.已知，则的值为________.【知识点】诱导公式;二倍角公式【答案】【解析】解析：【思路点拨】用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可。14..某空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是________．【知识点】由三视图求面积、体积．-17-\n【答案】【解析】解析：由三视图可知，该几何体为上部为半径为的球，下部为半径为1，高为2的半个圆柱，几何体的表面积为等于球的表面积：4π×=π，半圆柱的底面面积为2××=，半圆柱的侧面积为2×（2+）=4+2．几何体的表面积为：．故答案为：．【思路点拨】由三视图可知，该几何体为上部为半径为的球，下部为半径为1，高为2的半个圆柱，利用相关的面积公式求解即可解答．15.已知双曲线C：的离心率为，AB为左、右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若直线PA，PB，PO的斜率分别为，记，则m的取值范围为________.【知识点】双曲线的简单性质．【答案】【解析】解析：∵双曲线C：的离心率为，∴∴,设P,∵点P为双曲线C在第一象限的任意一点，∴,即,∵AB为左、右顶点，点O为坐标原点，若直线PA，PB，PO的斜率分别为，∴,又∵双曲线渐近线为,∴,∴0<<,故答案为.【思路点拨】由已知条件推导出，，，由此能求出的取值范围．16.设集合为平面直角坐标系xoy内的点集，若对于任意，存在，使得，则称点集M满足性质P.给出下列四个点集：-17-\n①②③④其中所有满足性质P的点集的序号是______．【知识点】命题的真假判断与应用.A2【答案】【解析】③④解析：对于①，；，定义域是R，对于任意，不存在，使得，①不满足点集M满足性质P．对于②，；的定义域，对于任意，不妨取（1，0），不存在，使得，②不满足点集M满足性质P．对于③，．图形是圆，对于任意，存在，x2与x1符号相反，即可使得，③满足点集M满足性质P．对于④，．图形是双曲线，对于任意，存在，x2与x1符号相反，即可使得，④满足点集M满足性质P．正确判断为③④．【思路点拨】分析性质P的含义，说明数量积小于0，向量的夹角是钝角，推出结果即可．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..17.已知函数，若函数的图像与直线(a为常数)相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.(1)求的表达式及a的值；(2)将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数，求其单调增区间.【知识点】三角函数的化简求值三角函数的图象与性质【答案】【解析】(1)(2)解析-17-\n：(1)由题意得，由解析式可知函数的最小正周期为(2)将函数的图象向左平移个单位，得到，再向上平移1个单位，得到，即由，整理得，所以函数的单调增区间是【思路点拨】把式子化成一个三角函数的形式，即可求出最小正周期，再根据图象的平移可求出函数的单调区间.18.(本小题满分12分)已知正项数列中，其前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，，求【知识点】数列的求和；数列递推式【答案】【解析】(1)an=2n﹣1(2)解析：（1）由题设条件知4Sn=（an+1）2，得4Sn+1=（an+1+1）2，两者作差，得4an+1=（an+1+1）2﹣（an+1）2．整理得（an+1﹣1）2=（an+1）2．又数列{an}各项均为正数，所以an+1﹣1=an+1，即an+1=an+2，故数列{an}是等差数列，公差为2，又4S1=4a1=（a1+1）2，解得a1=1，故有an=2n﹣1（2）由（1）可得∴Tn=【思路点拨】（1）由4Sn=（an+1）2，得4Sn+1=（an+1+1）2，两者作差，研究{an}的相邻项的关系，由此关系求其通项即可．（2）由（1）可，裂项求和即可．19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体PMBCA中，平面PAC平面ABC，PAC是边长为2的正三角-17-\n形，PM//BC，且,.（1）求证：PABC；（2）若多面体PMBCA的体积为,求PM的长.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】【解析】（1）见解析;（2）2解析：(1)∵，,,∴，∴⊥∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴BC⊥PA．……………………6分(2)过点A作AD⊥PC垂足为D,设PM的长为x,由(1)知，BC⊥平面PAC,∴BC⊥AD,,∵BCPC=C,∴AD⊥平面BCPM,∴AD为多面体PMBCA的高,且AD=……………………8分又PM//BC，且,∴四边形BCPM是上下底分别为x,4,高为2的直角梯形,∴多面体PMBCA的体积为,解得,即PM的长为2.……………………12分【思路点拨】（1）先证明AC⊥BC，再利用平面PAC⊥平面ABC，证明BC⊥平面PAC，即可证明PA⊥BC；（2）作AD⊥PC于点D，证明AD⊥平面BCPM，求出四边形BCPM的面积，再根据多面体PMBCA的体积求出PM的长即可．20．（本小题满分12分）设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，k为整数，为的导函数，且当时，-17-\n，求k的最大值．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】【解析】（1）f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增;（2）2解析：（1）函数f（x）=ex﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=ex﹣a，若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，所以函数f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（2）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（ex﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2【思路点拨】（1）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（2）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值.21.（本小题满分12分）如图，抛物线4x的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为.(1)求椭圆的标准方程；-17-\n(2)过A点作直线交于C、D两点，射线OC、OD分别交于E、F两点，记△OEF，△OCD的面积分别为，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【知识点】待定系数法求椭圆的方程；直线与圆锥曲线.【答案】【解析】（1）；（2）存在直线或x-y-2=0，使得，理由：见解析.解析：(1)因为，所以焦准距p=2，由抛物线与椭圆的长半轴相等知a=2，-------1分因为,所以，代入抛物线方程得，--3分又B点在椭圆上，代入椭圆方程，解得，故椭圆的标准方程是：--------5分（2）因为直线不垂直于y轴，故直线的方程可设为x＝my＋2，由得.设，故.-----7分.--------8分又直线OC的斜率为，故直线OC的方程为：x＝，-17-\n由得，同理.所以，--------11分又，解得，故存在直线或x-y-2=0，使得.-----12分【思路点拨】(1)易得a=2,再由△OAB的面积及点B在抛物线上，得点B坐标，把点B坐标代入椭圆方程求得b值即可；（2）由于直线不垂y轴，故直线的方程可设为x＝my＋2，代入抛物线方程得，由韦达定理得C、D纵坐标关于m的等式；再用C、D纵坐标表示E、F的纵坐标，最后用C、D、E、F的纵坐标表示，从而得关于m的方程，求得m值.22.（本小题满分10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若a>0,求证：.【知识点】绝对值不等式的解法；绝对值不等式性质的应用【答案】【解析】(1)；(2)证明：见解析.解析：（1）由题意，得，因此只须解不等式------------2分当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即；当时，原不式等价于1≤2，即；-17-\n当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即.综上,原不等式的解集为.-------5分（2）由题.当a>0时，=---------10分【思路点拨】（1）分段讨论解含绝对值的不等式；（2）利用绝对值不等式的性质：证明结论.-17-
