育才学校2022届高三上学期期中考试卷理科数学第I卷选择题60分一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p：“∀x∈[1,2]都有x2≥a”．命题q：“∃x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0成立”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－2]B．(－2,1)C．(－∞，－2]∪{1}D．[1，＋∞)2.若为实数，则“”是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A．0B．C．1D．4.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数5.设函数f(x)＝若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，则F(x)的值域为( )A．(－∞，1]B．[2，＋∞)C．(－∞，1]∪[2，＋∞)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)-8-\n6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2022年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30)A．2022年B．2022年C．2022年D．2022年7.函数f(x)＝cosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )8.函数在内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点9.在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA等于( )A．B．C．D．10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )A．11B．9C．7D．511.数列{}满足，则{}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．183012.已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是( )A．B．C．D．第II卷非选择题90分二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.设集合M＝{y|y＝2－x，x<0}，N＝{a|a＝}，则M∩N＝________.14.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________.-8-\n15.已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为.16.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上．若·＝，则·＝________．三、解答题(共6小题,共70分)17.(12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．18.(12分)已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．19.(12分)已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)<f(3)．(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．20.(12分)已知函数f(x)＝＋lnx.(1)当a＝时，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－x在[1，e]上为增函数，求正实数a的取值范围．-8-\n21.(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．22.(10分)某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15—0.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？高三理科数学答案一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)-8-\n1.C2.A3.A4.A5.C6.B7.D8.B9.D10.B11.D12.B二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.{x|x>1}14.－215.16.三、解答题(共6小题,共70分)17.（1）0（2）f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数（3）f(x)在[2,9]上的最小值为－2【解析】(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递减函数．-8-\n∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由f＝f(x1)－f(x2)，得f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.18.（1）函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数(2)1≤a<.【解析】(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m(m＋1)为偶数．∴函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f(x)经过点(2，)，∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1.∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1.由f(2－a)>f(a－1)得解得1≤a<.∴a的取值范围为[1，)．19.(1)∵f(2)<f(3)，∴f(x)在第一象限是增函数．故－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2.又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，∴f(x)＝x2.(2)假设存在q>0满足题设，由(1)知g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．-8-\n∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点(，)处取得．而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，∴g(x)max＝＝，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.q＝2.∴存在q＝2满足题意．20.(1)当a＝时，f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2，∴当x∈[1,2)时，f′(x)<0，故f(x)在[1,2)上单调递减；当x∈(2，e]时，f′(x)>0，故f(x)在(2，e]上单调递增，故f(x)min＝f(2)＝ln2－1.又∵f(1)＝0，f(e)＝<0.∴f(x)在区间[1，e]上的最大值f(x)max＝f(1)＝0.综上可知，函数f(x)在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln2－1.(2)∵g(x)＝f(x)－x＝＋lnx－x，∴g′(x)＝(a>0)，设φ(x)＝－ax2＋4ax－4，由题意知，只需φ(x)≥0在[1，e]上恒成立即可满足题意．∵a>0，函数φ(x)的图象的对称轴为x＝2，∴只需φ(1)＝3a－4≥0，即a≥即可．故正实数a的取值范围为.21.a＝3，c＝2.cos(B－C)＝.【解析】(1)由·＝2，得c·acosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.联立得或因为a＞c，所以a＝3，c＝2.-8-\n(2)在△ABC中，sinB＝＝＝.由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.22.(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0<x<150.依题意，单套丛书利润P＝x－(30＋)＝x－－30，∴P＝－[(150－x)＋]＋120.∵0<x<150，∴150－x>0，由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100.∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．-8-
