育才学校2022--2022学年度第一学期期中考试高二（普通班）理科数学一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.下列说法正确的是( )A．经过空间内的三个点有且只有一个平面B．如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台2.已知平面α与平面β平行，a⊂α，则下列命题正确的是( )A．a与β内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的一条直线平行3.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°4.小华的妈妈买回一个哈密瓜，小华对妈妈说：妈妈，我只切3刀，您猜，最少可以切成几块？最多可以切成几块？( )A．最少4块，最多6块B．最少4块，最多8块C．最少6块，最多8块D．最少4块，最多7块5.直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交且直线不过圆心D．相交且过圆心6.由直线y＝x＋1上的一点向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )6\nA．1B．2C．D．37.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋(y－2)2＝4所截得的弦长为( )A．2B．2C．D．8.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝09.已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( )A．19B．C．D．10.如图，△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′，其中A′B′＝2，则△ABC的面积为( )A．2B．4C．2D．411.已知是由不等式组，所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（）A．B．C．D．12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ADC⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ABD⊥平面ABC6\n二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a的值为________.14.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为______．16.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．三、解答题(共6小题,共70分)17（10分）.已知直线l：x－2y－5＝0与圆C：x2＋y2＝50.求：(1)交点A，B的坐标；(2)△AOB的面积．18（12分）.已知圆心坐标为(3,4)的圆N被直线x＝1截得的弦长为2.(1)求圆N的方程；(2)若过点D(3,6)的直线l被圆N截得的弦长为4，求直线l的斜率.19（12分）.如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．20（12分）.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝1,AA1＝，求AB1与侧面AC1所成的角．21.(12分)如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.6\n(1)求证：平面MAP⊥平面SAC；(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．22.（12分）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．答案解析1--5CBBBD6--10CACCD11.B12A13.1.14.615.(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝3616.(1)(4)17.【答案】(1)解方程组得或所以直线l：x－2y－5＝0与圆x2＋y2＝50的交点是A(－5，－5)，B(7,1)．(2)过圆心O作直线l的垂线，垂足为D，则圆心O到直线l的距离＝＝.在Rt△AOD中，＝5，＝＝3，所以＝6.△AOB的面积S△AOB＝＝×6×＝15.18.【答案】(1)由题意知，圆心到直线的距离为3－1＝2，∵圆N被直线x＝1截得的弦长为2，∴圆的半径为r＝＝3，∴圆N的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9.(2)设直线l的方程为y－6＝k(x－3)，即kx－y－3k＋6＝0，∵圆心(3,4)到直线l的距离为d＝，r＝3，弦长为4，∴4＝2，化简得1＋k2＝4，解得k＝±.6\n19.【答案】(1)证明 连接AE，由F是线段BD的中点，得F为AE的中点，∴GF为△AEC的中位线，∴GF∥AC.又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)解 平面GFP∥平面ABC.证明如下：∵F，P分别为BD，CD的中点，∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，∴FP∥平面ABC.又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP⊂平面FPG，GF⊂平面FPG，∴平面GFP∥平面ABC.20.【答案】取A1C1的中点D，连接B1D，AD.因为AB＝BC＝CA＝1，ABC－A1B1C为直三棱柱，所以B1D⊥A1C1，因为AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥B1D，所以B1D⊥平面ACC1A1，所以AD是AB1在平面ACC1A1内的投影，所以∠B1AD是AB1与平面ACC1A1所成的角．因为B1D＝，AB1＝＝，所以在Rt△B1AD中，sin∠B1AD＝＝，所以∠B1AD＝30°，所以AB1与平面ACC1A1所成的角是30°.21.【答案】(1)证明 ∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AC∩SC＝C，∴BC⊥平面SAC.又∵P，M是SC，SB的中点，∴PM∥BC，∴PM⊥平面SAC，∵PM⊂平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC.(2)解 ∵AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M－AC－B的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN＝60°，在△CAN中，由勾股定理得AN＝.在Rt△AMN中，MN＝＝·＝.在Rt△CNM中，tan∠MCN＝＝，故二面角M－AC－B的正切值为.22.【答案】(1)证明 连接OE，如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)证明 ∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.6\n(3)解 取OC的中点F，连接EF.∵E为PC的中点，∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥BD.∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFO，∴OE⊥BD.∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°.在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF·tan30°＝a，∴OP＝2EF＝a，∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.6
