2022-2022学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．若a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是（ ）A．a﹣c＞b﹣dB．＞C．ac＞bdD．c+a＞d+b2．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）A．58B．88C．143D．1763．在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（ ）A．4B．4C．4D．4．已知数列{an}的前n项和Sn=n3，则a4=（ ）A．37B．27C．64D．915．若一个正三棱柱的正视图如图所示，则其侧视图的面积等于（ ）A．B．2C．2D．66．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（ ）A．2B．C．2D．47．已知函数f（x）=sin（2x+）（x∈R），下面结论错误的是（ ）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）的图象关于直线对称D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数8．已知x＞0，y＞0，且+=1，，则+的最小值为（ ）14/15A．1B．2C．4D．9．设函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]．若从区间[﹣5，5]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤0的概率为（ ）A．0.5B．0.4C．0.3D．0.210．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（ ）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．不等式x（1﹣2x）＞0的解集为 ．12．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ．14．设b是1﹣a和1+a的等比中项（a＞0，b＞0），则a+b的最大值为 ．15．给定下列四个命题：①若＜＜0，则b2＞a2；②已知直线l，平面α，β为不重合的两个平面，若l⊥α，且α⊥β，则l∥β；③若﹣1，a，b，c，﹣16成等比数列，则b=﹣4；④三棱锥的四个面可以都是直角三角形．其中真命题编号是 （写出所有真命题的编号）． 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．某食品安检部门调查一个养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据进行统计得如表．鱼的重量[1.00，1.05）[1.05，1.10）[1.10，1.15）[1.15，1.20）[1.20，1.25）[1.25，1.30）鱼的条数320353192若规定重量大于或等于1.20kg的鱼占捕捞鱼总量的15%以上时，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．（1）根据统计表，估计数据落在[1.20，1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否有问题？（2）上面所捕捞的100条鱼中，从重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1，.25，1.30）中各有1条的概率．17．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（I）求函数f（x）的解析式；14/15（II）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c若（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（）的取值范围．18．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足sinB﹣2sinA=0且c=3，f（C）=0，求a、b的值．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，，F是BC的中点．（Ⅰ）求证：DA⊥平面PAC；（Ⅱ）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF，并求三棱锥A﹣CDG的体积．20．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）数列{cn}满足cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．21．已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2成立．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=（﹣1）n，求数列{cn}的前n项和Tn． 14/152022-2022学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．若a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是（ ）A．a﹣c＞b﹣dB．＞C．ac＞bdD．c+a＞d+b【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个答案中不等式的正误，可得答案．【解答】解：若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d不一定成立，故A错误；＞不一定成立，故B错误；ac＞bd不一定成立，故C错误；由不等式同号可加性可得：c+a＞d+b，故选：D 2．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）A．58B．88C．143D．176【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．【解答】解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B． 3．在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（ ）A．4B．4C．4D．【考点】正弦定理．【分析】先根据已知求得∠A的值，从而由正弦定理即可求值．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=180°﹣60°﹣75°=45°∴由正弦定理可得：b===4．故选：A． 14/154．已知数列{an}的前n项和Sn=n3，则a4=（ ）A．37B．27C．64D．91【考点】数列的函数特性．【分析】利用a4=S4﹣S3即可得出．【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn=n3，∴a4=S4﹣S3=43﹣33=37．故选：A． 5．若一个正三棱柱的正视图如图所示，则其侧视图的面积等于（ ）A．B．2C．2D．6【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由正视图知三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，侧视图是长为，高为1的矩形，即可求得结论．【解答】解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，∴侧视图是长为，高为1的矩形，∴侧视图的面积为．故选：A． 6．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（ ）A．2B．C．2D．4【考点】平面图形的直观图．【分析】根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．【解答】解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故应选D．14/15 7．已知函数f（x）=sin（2x+）（x∈R），下面结论错误的是（ ）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）的图象关于直线对称D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．【分析】函数=﹣cos2x分别求出的周期、奇偶性、单调区间、对称中心，可得A、B、D都正确，C错误．【解答】解：对于函数=﹣cos2x，它的周期等于，故A正确．由于f（﹣x）=﹣cos（﹣2x）=﹣cos2x=f（x），故函数f（x）是偶函数，故B正确．令，则=0，故f（x）的一个对称中心，故C错误．由于0≤x≤，则0≤2x≤π，由于函数y=cost在[0，π]上单调递减故y=﹣cost在[0，π]上单调递增，故D正确．故选C． 8．已知x＞0，y＞0，且+=1，，则+的最小值为（ ）A．1B．2C．4D．【考点】基本不等式．【分析】利用“1=+”代入，将+乘以+，即可得到积为定值的和的形式，再用基本不等式即可求出该式的最小值．14/15【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=1，∴+=（+）（+）=2+，∵∴当且仅当=1时，+的最小值为4故选C 9．设函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]．若从区间[﹣5，5]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤0的概率为（ ）A．0.5B．0.4C．0.3D．0.2【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，由f（x0）≤0，得到x2﹣x﹣2≤0，解得：﹣1≤x≤2，∴P==0.3，故选C． 10．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（ ）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．【解答】解：由题意作出其平面区域，14/15由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．不等式x（1﹣2x）＞0的解集为 {x|0} ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】利用二次不等式求解即可．【解答】解：不等式x（1﹣2x）＞0，即x（x﹣）＜0，解得0．不等式x（1﹣2x）＞0的解集为：{x|0}．故答案为：{x|0}． 12．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 14π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意可知，长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，求出长方体的对角线长，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，由S=4πR2=14π．故答案为：14π 14/1513．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ．【考点】等可能事件的概率．【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．【解答】解：列树状图得：共有12种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为8种，所以概率为．故答案为：． 14．设b是1﹣a和1+a的等比中项（a＞0，b＞0），则a+b的最大值为 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】推导出a2+3b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，θ∈（0，2π），由此利用三角函数性质能求出a+b的最大值．【解答】解：∵b是1﹣a和1+a的等比中项（a＞0，b＞0），∴==，∴a2+3b2=1，∵a＞0，b＞0，∴令a=cosθ，b=sinθ，θ∈（0，2π）．则：a+b=cosθ+sinθ=sin（θ+）≤．∴a+b的最大值为．故答案为：． 15．给定下列四个命题：①若＜＜0，则b2＞a2；②已知直线l，平面α，β为不重合的两个平面，若l⊥α，且α⊥β，则l∥β；③若﹣1，a，b，c，﹣16成等比数列，则b=﹣4；④三棱锥的四个面可以都是直角三角形．其中真命题编号是 ①③④ （写出所有真命题的编号）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的性质、空间线面位置关系、等比数列定义、三棱锥定义等逐一对各个答案的真假进行判断．14/15【解答】解：对于①，由＜＜0得到b＜a＜0，∴b2＞a2，故①是真命题；对于②，若l⊥α，且α⊥β，则l∥β或l⊂β，故是②假命题；对于③若﹣1，a，b，c，﹣16成等比数列，则a2=﹣1×b，且b2=﹣1×（﹣16），∴b＜0，b=﹣4，故③是真命题；对于④，如图所示三棱锥C﹣A1B1C1的四个面可以都是直角三角形．故④是真命题．故答案是：①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．某食品安检部门调查一个养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据进行统计得如表．鱼的重量[1.00，1.05）[1.05，1.10）[1.10，1.15）[1.15，1.20）[1.20，1.25）[1.25，1.30）鱼的条数320353192若规定重量大于或等于1.20kg的鱼占捕捞鱼总量的15%以上时，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．（1）根据统计表，估计数据落在[1.20，1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否有问题？（2）上面所捕捞的100条鱼中，从重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1，.25，1.30）中各有1条的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）捕捞的100条鱼中间，求出数据落在[1.20，1.25）的概率，再求出数据落在[1.20，1.30）中的概率，相加即得所求．（2）重量在[1.00，1.05）的鱼有3条，把这3条鱼分别记作A1，A2，A3，重量在[1.25，1.30）的鱼有2条，分别记作：B1，B2，写出所有的可能选法，再找出满足条件的选法，从而求得所求事件的概率．【解答】解：（1）捕捞的100条鱼中，数据落在[1.20，1.30）中的概率约为P1==0.11，由于0.11×100%=11%＜15%，故饲养的这批鱼没有问题．（2）重量在[1.00，1.05）的鱼有3条，把这3条鱼分别记作A1，A2，A3，重量在[1.25，1.30）的鱼有2条，分别记作B1，B2，那么从中任取2条的所有的可能有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}共10种．而恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）中各有1条的情况有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共6种．14/15所以恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）中各有1条的概率p==． 17．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（I）求函数f（x）的解析式；（II）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c若（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（）的取值范围．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．【分析】（I）利用函数的图象，求出A，通过函数的周期求出ω，通过函数的图象经过，求出φ，即可解出函数f（x）的解析式；（II）利用（2a﹣c）cosB=bcosC，结合正弦定理，求出cosB，利用函数的解析式求f（）的表达式，通过A的范围求出函数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由图象知A=1，的最小正周期，故ω=2将点代入的解析式得，又故所以（Ⅱ）由（2a﹣c）cosB=bcosC得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA因为sinA≠0所以，，，， 18．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；14/15（2）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足sinB﹣2sinA=0且c=3，f（C）=0，求a、b的值．【考点】余弦定理；二倍角的余弦．【分析】（1）f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，即可求出f（x）的最小值，以及最小正周期；（2）由f（C）=0，及（1）得出的f（x）解析式求出C的度数，利用正弦定理化简已知等式得到a与b的关系式，再由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，联立求出a与b的值即可．【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为π；（2）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=，∵sinB﹣2sinA=0，由正弦定理=，得b=2a，①∵c=3，由余弦定理，得9=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=9，②解方程组①②，得． 19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，，F是BC的中点．（Ⅰ）求证：DA⊥平面PAC；（Ⅱ）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF，并求三棱锥A﹣CDG的体积．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）平行四边形ABCD中，证出AC⊥DA．结合PA⊥平面ABCD，得PA⊥DA，由线面垂直的判定定理，可得DA⊥平面PAC．14/15（Ⅱ）设PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，连接FH，可证出四边形FCGH为平行四边形，得GC∥FH，所以CG∥平面PAF．设点G到平面ABCD的距离为d，得d=，结合Rt△ACD面积和锥体体积公式，可算出三棱锥A﹣CDG的体积．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形是平行四边形，∴AD∥BC，可得∠ACB=∠DAC=90°，即AC⊥DA∵PA⊥平面ABCD，DA⊆平面ABCD，∴PA⊥DA，又∵AC⊥DA，AC∩PA=A，∴DA⊥平面PAC．（Ⅱ）设PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，连接FH，则△PAD中，GH平行且等于∵平行四边形ABCD中，FC平行且等于，∴GH∥FC且GH=FC，四边形FCGH为平行四边形，得GC∥FH，∵FH⊂平面PAF，CG⊄平面PAF，∴CG∥平面PAF，即G为PD中点时，CG∥平面PAF．设点G到平面ABCD的距离为d，则由G为PD中点且PA⊥平面ABCD，得d=，又∵Rt△ACD面积为×1×1=∴三棱锥A﹣CDG的体积VA﹣CDG=VG﹣CDA=S△ACD×=． 20．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）数列{cn}满足cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（1）利用等比数列的通项公式，可求确定公比，从而可求{bn}的通项公式，利用a1+a2+a3=b2+b3，可得数列的公差，从而可求数列{an}的通项公式；（2）利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q由=54，得，从而q=3因此14/15又a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24，∴a2=8从而d=a2﹣a1=6，故an=a1+（n﹣1）•6=6n﹣4（2）令两式相减得=﹣（3n﹣2）•3n=∴，又． 21．已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2成立．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=（﹣1）n，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（1）由题意和等差数列的前n项和公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出an，再化简b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2，可得当n≥2时b1•b2•b3…bn﹣1=2n﹣1，将两个式子相除求出bn；（2）由（1）化简cn=（﹣1）n，再对n分奇数和偶数讨论，分别利用裂项相消法求出Tn，最后要用分段函数的形式表示出来．【解答】解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，则a10=a1+9d=19，，解得a1=1，d=2，所以an=2n﹣1，）所以b1•b2•b3…bn﹣1•bn=2n+1…①当n=1时，b1=3，当n≥2时，b1•b2•b3…bn﹣1=2n﹣1…②①②两式相除得因为当n=1时，b1=3适合上式，所以．14/15（Ⅱ）由已知，得则Tn=c1+c2+c3+…+cn=，当n为偶数时，==，当n为奇数时，==．综上：． 14/15
