2022-2022学年山东省德州市武城二中高二（上）第一次月考数学试卷 一、选择题1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（ ）A．1或3B．4C．1D．1或42．已知a＞0，b＜0，c＞0则直线ax+by+c=0必不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（ ）A．3x+4y﹣5=0B．3x+4y+5=0C．3x﹣4y+5=0D．3x﹣4y﹣5=04．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（ ）A．3x+2y﹣1=0B．3x+2y+7=0C．2x﹣3y+5=0D．2x﹣3y+8=05．已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切，且与直线l2：3x+4y﹣6=0平行，则直线l1的方程是（ ）A．3x+4y﹣1=0B．3x+4y+1=0或3x+4y﹣9=0C．3x+4y+9=0D．3x+4y﹣1=0或3x+4y+9=06．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）A．B．4C．D．27．点A（1，1）到直线xcosθ+ysinθ﹣2=0的距离的最大值是（ ）A．1+B．2+C．1+D．2+8．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC的面积是（ ）A．B．C．D．9．若直线x+my=2+m与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则实数m的取值范围为（ ）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）U（0，+∞）14/1510．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（ ）A．4B．9C．10D．1211．已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，过直线x﹣y﹣6=0上的一点M作圆C的切线，切点为N，则|MN|的最小值为（ ）A．2B．C．4D．312．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A．B．5C．D． 二、填空题13．已知直线l1：3x+my﹣1=0，直线l2：（m+2）x﹣（m﹣2）y+2=0，且l1∥l2，则m的值为 ．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为 ．15．一个正四棱锥的三视图如图所示，则此正四棱锥的侧面积为 ．16．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④存在恰经过一个整点的直线． 14/15三、解答题17．已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x﹣y+a=0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1∥l2，求a的值及直线l1与l2的距离．18．已知直线l的方程是y=﹣（a+1）x+2﹣a（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若l与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．19．已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．20．已知直线l：4x+3y﹣8=0（a∈R）过圆C：x2+y2﹣ax=0的圆心交圆C于A、B两点，O为坐标原点．（I）求圆C的方程；（II）求圆C在点P（1，）处的切线方程；（III）求△OAB的面积．21．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为多少？甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）12822．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由． 14/152022-2022学年山东省德州市武城二中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（ ）A．1或3B．4C．1D．1或4【考点】直线的斜率．【分析】利用直线的斜率公式求解．【解答】解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，∴k==1，解得m=1．故选：C． 2．已知a＞0，b＜0，c＞0则直线ax+by+c=0必不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】直线的一般式方程．【分析】化方程为斜截式方程，由斜率和截距的意义可得．【解答】解：由题意可知a＞0，b＜0，c＞0，直线方程可化为y=x﹣，∴直线的斜率＞0，截距＞0，∴直线ax+by+c=0必不经过第四象限，故选：D． 3．与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（ ）A．3x+4y﹣5=0B．3x+4y+5=0C．3x﹣4y+5=0D．3x﹣4y﹣5=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】令x=0，可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点．令y=0，可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点，此点关于y轴的对称点为．可得：与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点：，．利用截距式即可得出．【解答】解：令x=0，则y=，可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点．14/15令y=0，可得x=﹣，可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点，此点关于y轴的对称点为．∴与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点：，．其方程为：=1，化为：3x+4y﹣5=0．故选：A． 4．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（ ）A．3x+2y﹣1=0B．3x+2y+7=0C．2x﹣3y+5=0D．2x﹣3y+8=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0．故选：A． 5．已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切，且与直线l2：3x+4y﹣6=0平行，则直线l1的方程是（ ）A．3x+4y﹣1=0B．3x+4y+1=0或3x+4y﹣9=0C．3x+4y+9=0D．3x+4y﹣1=0或3x+4y+9=0【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的一般式方程与直线的平行关系，设出直线l1的方程为3x+4y+m=0，再由直线l1与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出直线l1的方程．【解答】解：∵直线l1与直线l2：3x+4y﹣6=0平行，∴设直线l1为3x+4y+m=0，将圆的方程化为x2+（y+1）2=1，得到圆心坐标为（0，﹣1），半径r=1，又直线l1与圆x2+y2+2y=0相切，∴圆心到3x+4y+m=0的距离d=r，即=1，解得：m=9或m=﹣1，则直线l1的方程为3x+4y﹣1=0或3x+4y+9=0．故选D 6．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ）14/15A．B．4C．D．2【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件对应的可行域，分析满足条件的图形的形状，结合三角形面积的求法，即可求解．【解答】解：由已知易得满足约束条件的可行域即为△ABC，又∵，故选B． 7．点A（1，1）到直线xcosθ+ysinθ﹣2=0的距离的最大值是（ ）A．1+B．2+C．1+D．2+【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式、两角和差的正弦关系及其正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：点A（1，1）到直线xcosθ+ysinθ﹣2=0的距离d==，当且仅当=﹣1时d取得最大值，d=．故选：B． 8．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC的面积是（ ）A．B．C．D．【考点】斜二测法画直观图．14/15【分析】由直观图和原图的面积之间的关系直接求解即可．【解答】解：因为，且若△A′B′C′的面积为×2××=，那么△ABC的面积为故选A． 9．若直线x+my=2+m与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则实数m的取值范围为（ ）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）U（0，+∞）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】直线l：x+my=2+m通过整理，发现它虽然在动，但是经过定点M（2，1），再将点M（2，1）代入圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0方程，发现点M恰好在圆上，因此可得直线l只要与圆不相切，就能与圆相交，从而满足题意．因此求出直线与圆相切时的m值，再求对立面即得实数m的取值范围．【解答】解：∵直线l：x+my=2+m整理，得x﹣2+m（y﹣1）=0，∴动直线l经过定点M（2，1），∵圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0化成标准方程，得（x﹣1）2+（y﹣1）2=1∴圆心坐标为C（1，1），半径r=1又∵点M（2，1）满足（2﹣1）2+（1﹣1）2=1，恰好在圆C上，∴当直线l与圆C不相切时，必定有l与圆C相交若直线l与圆C相切，有，可得m=0因此，可得当m≠0时，总有l与圆C相交故选D 10．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（ ）A．4B．9C．10D．12【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，14/15∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C． 11．已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，过直线x﹣y﹣6=0上的一点M作圆C的切线，切点为N，则|MN|的最小值为（ ）A．2B．C．4D．3【考点】圆的切线方程．【分析】求出C（1，1）到直线x﹣y﹣6=0的距离d，可得|MN|的最小值．【解答】解：圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，圆心坐标为（1，1），半径为2．要使|MN|最小，需圆心C（1，1）到直线x﹣y﹣6=0的M的距离最小，而CM的最小值即圆心C（1，1）到直线x﹣y﹣6=0的距离d==3，故|MN|的最小值为=，故选：B． 12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A．B．5C．D．14/15【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为边长为1的正方体切去一个三棱锥得到的，共含有7个面．【解答】解：由三视图可知该几何体为边长为1的正方体切去一个三棱锥得到的，三棱锥的底面边长为正方体相邻三个面的对角线长，剩余几何体有3个面为原正方体的面，有3个面为原正方体面的一半，有1个面为等边三角形，边长为原正方体的面对角线长．∴几何体的表面积为1×3++（）2=．故选A． 二、填空题13．已知直线l1：3x+my﹣1=0，直线l2：（m+2）x﹣（m﹣2）y+2=0，且l1∥l2，则m的值为 1或﹣6 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据直线平行的等价条件进行求解即可得到结论．【解答】解：若l1∥l2，则m（m+2）+3（m﹣2）=0，解得：m=1或﹣6，故答案为：1或﹣6． 14．若x，y满足约束条件．则的最大值为 3 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则kOA==3，即的最大值为3．故答案为：3．14/15 15．一个正四棱锥的三视图如图所示，则此正四棱锥的侧面积为 60 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得四棱锥为正四棱锥，判断底面边长与高的数据，求出四棱锥的斜高，代入棱锥的侧面积公式计算．【解答】解：由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为6，高为4，则四棱锥的斜高为=5，∴四棱锥的侧面积为S==60．故答案为：60． 16．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是 ①③④ （写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④存在恰经过一个整点的直线．【考点】命题的真假判断与应用；确定直线位置的几何要素．【分析】逐项判断即可．①举例说明即可；②举反例即可判断；③说明当直线l经过两个整点时直线l经过无穷多个整点时关键；④举例说明即可得到该命题正确．【解答】解：①如直线，该直线不经过任何整点，因为当x为整数时，y都是无理数，故①正确；②取k=，b=﹣都是无理数，但直线经过整点（1，0），故此②错误；③当直线经过无穷多过整点时肯定经过两个整点，当直线经过两个整点时，设两整点的坐标为（m，n），（p，q），且m≠p，n≠q，则直线方程为14/15，当x=k（m﹣p）+m，k∈Z时，y=k（n﹣q）+n∈Z，即直线经过整点（k（m﹣p）+m，k（n﹣q）+n），k∈Z，k每取一个整数就对应一整点，所以直线经过无穷多个整点，故③正确；④若直线方程为，直线经过整点（0，0），当x取不为零的任意整数时，y都是无理数，故该直线仅经过整点（0，0），故④正确．综上可知，答案为：①③④． 三、解答题17．已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x﹣y+a=0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1∥l2，求a的值及直线l1与l2的距离．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）由垂直可得a×1+2×（﹣1）=0，解得a值可得直线的方程，联立方程可解交点坐标；（2）当直线l1∥l2时，，解得a值可得直线的方程，由平行线间的距离公式可得答案．【解答】解：（1）∵直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x﹣y+a=0，当直线l1⊥l2时，a×1+2×（﹣1）=0，解得a=2，∴l1：2x+2y+1=0，直线l2：x﹣y+2=0，联立解得∴a的值为2，垂足P的坐标为（，）；（2）当直线l1∥l2时，，解得a=﹣2，∴l1：﹣2x+2y+1=0，直线l2：﹣2x+2y+4=0，由平行线间的距离公式可得d==∴a的值为﹣2，直线l1与l2的距离为 18．已知直线l的方程是y=﹣（a+1）x+2﹣a（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若l与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．【考点】直线的截距式方程；三角形的面积公式．【分析】（1）依题意，由=a﹣2即可求得a，从而可得直线l的方程；（2）设所围成的面积为S，列出S的表达式，利用S=2即可求得参数a的值，从而得到所求直线的方程．14/15【解答】解：（1）依题意a+1≠0，∴=a﹣2，∴a=2，或a=0，∴所求的直线方程是3x+y=0，或x+y﹣2=0．（2）设所围成的面积为S，则S=•|a﹣2|=2，∴（a﹣2）2=4|a+1|，解得a=8，或a=0，∴所求直线方程是x+y﹣2=0，或9x+y+6=0． 19．已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【分析】（Ⅰ）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C关于直线x+y﹣1=0对称，得到圆心在直线上代入得到①，把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于得到②，①②联立求出D和E，即可写出圆的方程；（Ⅱ）设l：x+y=a，根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a即可．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为（﹣，﹣）∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称∴点（﹣，﹣）在直线x+y﹣1=0上即D+E=﹣2，①且=2②又∵圆心C在第二象限∴D＞0，E＜0由①②解得D=2，E=﹣4∴所求圆C的方程为：x2+y2+2x﹣4y+3=0（Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设l：x+y=a∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于半径，即||=，∴a=﹣1或a=3所求切线方程x+y=﹣1或x+y=3 20．已知直线l：4x+3y﹣8=0（a∈R）过圆C：x2+y2﹣ax=0的圆心交圆C于A、B两点，O为坐标原点．（I）求圆C的方程；（II）求圆C在点P（1，）处的切线方程；（III）求△OAB的面积．【考点】正弦定理；点到直线的距离公式；圆的一般方程；圆的切线方程．14/15【分析】（I）圆C：x2+y2﹣ax=0的圆心为（，0），将圆心坐标代入4x+3y﹣8=0即可求得a，从而可得圆C的方程；（II）将点P（1，）的坐标代入x2+y2﹣4x=0成立，即点P（1，）在x2+y2﹣4x=0上，设过点P（1，）的切线l1的斜率为k，利用kPC•k=﹣1可求得k，从而可得切线l1的方程；（III）由题意可知，|AB|为圆x2+y2﹣4x=0的直径，其长度为4，利用点到直线的距离公式可求得原点（0，0）到直线l：4x+3y﹣8=0的距离，从而可求△OAB的面积．【解答】解：（I）∵圆C：x2+y2﹣ax=0的圆心为（，0）…直线l：4x+3y﹣8=0过圆C的圆心，∴4×+3×0﹣8=0，∴a=4…∴圆C的方程为：x2+y2﹣4x=0…（II）∵点P（1，）在x2+y2﹣4x=0上，且圆心为（2，0）…∴设过点P（1，）的切线l1的斜率为k，过P、C两点的直线的斜率为kPC，则…kPC=…∵PC⊥l1∴kPC•k=﹣1，故k=…∴切线l1的方程为y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0…（III）∵圆C：x2+y2﹣4x=0的半径为2，…∴|BA|=2r=4…点O（0，0）到直线l：4x+3y﹣8=0的距离为d==…∴S△OAB=|ABC|•d=×4×=… 21．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为多少？甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128【考点】简单线性规划．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，14/15则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+，经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得：，即B的坐标为x=2，y=3，∴zmax=3x+4y=6+12=18．则每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元． 22．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．14/15【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}． 14/15
