高三数学阶段性测试题（文科）2022.12.18第I卷（共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项符合题意）1．已知全集，集合，，则等于（）A.B.C.D.2.已知向量，若与平行，则实数的值是( )A．﹣2 B．0 C．1 D．23．已知为第四象限角，，则=（）A．B．C．D．4．设等差数列的前项和为．若，，则当取最小值时，（）A．6B．7C．8D．95．过坐标原点作曲线的切线，则切线斜率为（）A．B．C．D．6．设命题甲：的解集是实数集R；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的( )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位-10-\n8.如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A． B．4 C． D．29.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,则（）A.B.C.D.10.函数若函数上有3个零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.第II卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB= .12.经过点P（1，2），且在两坐标轴上的截距是相反数的直线方程为 .13.若在区间上任取一个数m，则函数是R上的单调增函数的概率是 .14.若变量x，y满足，则的最大值为 ．15.是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若成立，求实数的取值范围 ．-10-\n三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．(本小题满分12分)已知，，与的夹角是120°.（Ⅰ）计算：①，②；（Ⅱ）当为何值时，．17.（本小题满分12分）某超市在一次促销活动中，设计一则游戏：一袋中装有除颜色完全相同的2各红球和4个黑球．规定：从袋中一次模一球，获二等奖；从袋中一次摸两球，得一红，一黑球或三等奖，得两红球获一等奖，每人只能摸一次，且其他情况没有奖．（Ⅰ）求某人一次只摸一球，获奖的概率；（Ⅱ）求某人一次摸两球，获奖的概率．18.（本小题满分12分）在△ABC中，分别是角A,B,C的对边，且.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.-10-\n-10-\n19.（本小题满分12分）已知数列各项均为正数，其前项和满足（）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．20.（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．（Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）求三棱锥C1﹣BCD的体积.21.（本小题满分14分）设函数．（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数；（Ⅲ）若对任意，恒成立，求取值范围．-10-\n-10-\n高三阶段性测试题答案（文科数学）一．1.C2.D3.A4.A5.D6.B7.B8.C9.D10.A二．11.12.13.14.15.三．解答题：16．解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.…………2分(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.……5分②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16.……8分(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，……10分∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．……12分17. 解：（Ⅰ）因为六个球中共有2个红球，故某人一次摸一球获奖的概率是p=．……6分（Ⅱ）将六个球分别记为a，b，c，d，m，n，其中m，n两个是红球，从这袋中任取两球取法有（a，b），（a，c），（a，d），（a，m），（a，n），（b，c），（b，d），（b，m），（b，n），（c，d），（c，m），（c，n），（d，m），（d，n），（m，n），共15种，……8分其中含红球的有（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n），（d，m），（d，n），（m，n）9种，……10分-10-\n故求某人一次摸两球，获奖的概率是．……12分18.解：(Ⅰ)，由正弦定理，得,即……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，所以……………8分（1）的最小正周期.……………9分（2），……10分所以，……………11分故………12分19.（Ⅰ）解：………①………②①-②,得……….2分……….3分当……….4分-10-\n所以数列的通项公式是………6分（Ⅱ）由（1）知，………………7分,,…………9分…………………………..10分………………………11分.………………………12分20.解：（Ⅰ）连接B1C交BC1于O，连接OD，在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，所以OD∥AB1，………2分又OD⊂平面BC1D，………3分∴直线AB1∥平面BC1D． ………4分（Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BD．………5分又BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1．………6分又BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1． ………8分（Ⅲ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，由AB=6可知，，∴．………10分又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，………11分∴． ………12分21．解：（Ⅰ），显然-10-\n在内，，函数单调递减；在内，，函数单调递增，所以的极小值为．………4分（Ⅱ），令，得，……设，则，显然在内，，单调递增；在内，，单调递减，在内的最大值为，………6分（1）若，方程无解，即没有零点；………7分（2）若，方程有唯一解，即有一个零点；………8分（3）若，方程有两解，即有两个零点．………9分综上，没有零点，，有一个零点，，有两个零点。………10分（Ⅲ）对任意，恒成立，即，亦即在上单调递减恒成立，………11分∵，∴在上恒成立，即在上恒成立，………12分∵，∴，………13分所以取值范围是．………14分-10-
