2022届高三六校第一次联考理科数学试题第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.已知，其中i为虚数单位，则＝（）A.－1B．1C．2D．33.若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4.下列四个命题中，正确的是（）A．已知服从正态分布，且，则B．已知命题;命题．则命题“”是假命题C．设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位D．已知直线,，则的充要条件是=-35.已知单位向量满足，则夹角为（）A．B．C．D．6.若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（）12\nA.B.C.D.7.设，满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为12，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.记集合,M=,将M中的元素按从大到小排列，则第2022个数是（）A.B.C.D.第二部分非选择题（共110分）二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9～13题）9．在展开式中的系数为,则实数的值为.10．计算定积分.11.已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程是____________________.12．在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则.．将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数列第项;第项.12\n图1（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线（）截圆所得弦长是.15．（几何证明选讲选做题）如图（图2）是圆的直径，过、的两条弦和相交于点，若圆的半径是，那么的值等于________________.图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。最终，商定以抛硬币的方式决定结果。规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议.记所需抛币次数为.⑴求=6的概率；⑵求的分布列和期望.17．（本小题满分12分）已知函数（为常数）．（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）若函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像关于轴对称，求实数的最小值.18．(本小题满分14分)设函数（Ⅰ）若在时有极值，求实数的值和的单调区间;（Ⅱ）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围．12\n19．（本小题满分14分）已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小;（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由.20．（本小题满分14分）如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为，直线的方程为，为上一点，且在轴的上方，与椭圆交于点.（1）若是的中点，求证：.（2）过三点的圆与轴交于两点，求的范围.21.（本小题满分14分）设，，Q=；若将，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列的前三项.（1）试比较M、P、Q的大小；（2）求的值及的通项；（3）记函数的图象在轴上截得的线段长为，设，求，并证明.12\n.2022届高三六校第一次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案BDDBCCAA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9.;10.;11.;12．;13.,;14.;15..三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。最终，商定以抛硬币的方式决定结果。规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议.记所需抛币次数为.⑴求=6的概率；⑵求的分布列和期望.16.解:(1)………………………4分(2)分布列为:4567……………………10分∴………………………12分17．（本小题满分12分）已知函数（为常数）．12\n（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）若函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像关于轴对称，求实数的最小值.17.解：（1）………………………4分的最小正周期为………………………5分当，即时，函数单调递增，故所求单调增区间为………………………8分（2）函数的图像向左平移个单位后得，………………………9分要使的图像关于轴对称，只需………………………11分即，所以的最小值为．………………………12分18．(本小题满分14分)设函数（Ⅰ）若在时有极值，求实数的值和的单调区间;（Ⅱ）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围．18.解：（Ⅰ）在时有极值，有，………………………2分又，有，………………………4分有，由有，………………………6分又关系有下表0012\n递增递减递增的递增区间为和，递减区间为……………………9分（Ⅱ）若在定义域上是增函数,则在时恒成立，…………………10分，需时恒成立，化为恒成立，，.………………………14分19．（本小题满分14分）已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小;（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由.19.解：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4，BD=1，∴∴．即该几何体的体积V为．----------------------------------3分（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．-------5分在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．∴．12\n即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………………………7分解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴，∴∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.……………………8分取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设.连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵∴∽∵∴∴．……………………11分∵,∴∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴∵面,面∴∴面---------13分∵面ACQ∴．………………………14分解法2:以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则，12\n∵AQBQ∴----------------------------①∵点Q在ED上，∴存在使得∴-----------②②代入①得，解得∴满足题设的点Q存在，其坐标为．20．（本小题满分14分）如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为，直线的方程为，为上一点，且在轴的上方，与椭圆交于点.（1）若是的中点，求证：.（2）过三点的圆与轴交于两点，求的范围.20．（1）证:由题意得，又点在椭圆上，且在轴上方，得………………………3分………………………6分（2）解:（方法一）设，其中圆过三点，圆心在线段的中垂线上设圆心为，半径为，有，………………………10分，，当且仅当即时取“=”12\n.的取值范围是………………………14分（方法二）解：设，其中，圆过三点，设该圆的方程为，有解得圆心为半径，………………………10分，当且仅当即时取“=”，的取值范围是.………………………14分21.（本小题满分14分）设，，Q=；若将，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列的前三项.（1）试比较M、P、Q的大小;（2）求的值及的通项；（3）记函数的图象在轴上截得的线段长为，设，求，并证明.21.解：（1）由………………………1分得………………………2分………………………3分………………………4分12\n，又当时，，当时，即，则………………………5分当时，，则当时，，则…………………6分（2）当时，即解得，从而………………………7分当时，即,无解.………………………8分（3）设与轴交点为，当=0时有………………………9分又，…………10分…………11分12\n…………14分说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.12
