广东省六校2022届高三第一次联考试题文科数学本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：球的体积公式是,其中是球的半径．棱锥的体积公式：．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集，集合，，那么A．B．C．D．2．函数是A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数3．已知命题：，，那么是A．，B．，C．，D．，4．已知是虚数单位，则复数的虚部为第5题图A．B．C．D．5．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是A． B．C．D．6．设变量满足约束条件：，则的最小值为A．B．C．D．4\n7．已知数列的前项和，则=A．36B．35C．34D．338．在中，角所对的边分别为，若，，则第9题图A．B．C．D．9．若右边的程序框图输出的是126，则条件①可为A．B．C．D．10．椭圆＝1的左右焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则的取值范围是A． B．C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）11．设平面向量，则．12．若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为．13．已知函数，则．★（请考生在以下二个小题中任选一题作答，全答的以第一小题计分）第15题图14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，则线段的垂直平分线的极坐标方程为．15．（几何证明选讲选做题）如右图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为，则圆心到直线的距离为．4\n三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）16．（本小题满分12分）已知平面直角坐标系上的三点，，（），为坐标原点，向量与向量共线．（1）求的值；（2）求的值．17．（本小题满分12分）某小组共有五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）如下表所示：ABCDE身高1．691．731．751．791．82体重指标19．225．118．523．320．9（1）从该小组身高低于1．80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1．78以下的概率；（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9)中的概率．18．（本小题满分14分）BDCAA1B1C1D1第18题图如右图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,．（1）求证:平面平面；（2）若,求四棱锥的体积．4\n19．（本小题满分14分）设是各项都为正数的等比数列,是等差数列，且，，．（1）求数列,的通项公式；（2）设数列的前项和为，求数列的前项和．20．(本小题满分14分)已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且．（1）求双曲线的方程；（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线的斜率．（1）若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：．4\n广东省六校2022届高三第一次联考文科数学参考答案一．选择题（10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案DAADBCCBBD二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分）11．12．13．14．（与其等价的极坐标方程皆可）15．三．解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题满分12分）解：（1）法1：由题意得：，，…………………2分∵，∴，∴．…………………5分法2：由题意得：，，…………………2分∵，∴，∴，∴．…………………5分（2）∵，，∴，…………………6分由，解得，，…………………8分∴；…………………9分；…………………10分∴．…………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．…………………………4分第5页（共5页）\n选到的2人身高都在1．78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到的2人身高都在1．78以下的概率为．…………………………6分（2）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．…………………………10分选到的2人身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．因此选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9)中的概率为．………12分18．(本题满分14分)解：（1）证明：在中,由余弦定理得：，所以,所以,即，……………………………………3分又四边形为平行四边形,所以，又底面,底面,所以，……………………………………4分又,所以平面,……………………………………5分解法一图BDCAA1B1C1D1M又平面,所以平面平面．……………………………………6分（2）法一：连结，∵，∴∵平面，所以，……………………………8分所以四边形的面积，…………10分取的中点，连结，则，且，解法二图BDCAA1B1C1D1又平面平面,平面平面，所以平面，……………………………………13分所以四棱锥的体积：．……………………………………14分法二:四棱锥的体积，……………8分而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等，……………10分所以．……………………14分第5页（共5页）\n19．（本小题满分14分）解：（1）设数列的公比为数列的公差为，依题意得：，………………………………………………2分消去得，………………………………………………3分∵∴，由可解得………………………………………………4分∴………………………………………………5分（2）由（1）得，所以有：………………………………………………7分令①则②①-②得：…………………………………………10分∴………………………………………………12分又，………………………………………………13分∴．………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解:（1）∵抛物线的焦点为，∴双曲线的焦点为、，………………………………………………1分设在抛物线上，且，由抛物线的定义得，，∴，∴，∴，…………………………3分s5u∴，………………………………………………4分又∵点在双曲线上，由双曲线定义得：第5页（共5页）\n，∴，∴双曲线的方程为：．………………………………6分（2）为定值．下面给出说明．设圆的方程为：，5u∵圆与直线相切，∴圆的半径为，故圆：．………………………………7分显然当直线的斜率不存在时不符合题意，………………………………………………8分设的方程为，即，设的方程为，即，∴点到直线的距离为，点到直线的距离为，………………………………………………10分∴直线被圆截得的弦长，……………………………11分直线被圆截得的弦长，……………………………12分∴，故为定值．………………………………14分21．(本题满分14分)解：（1）由题意，……………………………………1分所以…………………………………………2分当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值．…………………………………………3分因为函数在区间（其中）上存在极值，第5页（共5页）\n所以，得．即实数的取值范围是．……………4分（2）由得，令，则．……………………………………………………6分令，则，因为所以,故在上单调递增．……………………7分所以,从而在上单调递增,所以实数的取值范围是．…………………………………………9分（3）由(2)知恒成立,即……………………11分令则，……………………12分所以，，……,．将以上个式子相加得：，故．…………………………………14分（解答题的其他解法可酌情给分）第5页（共5页）
