2022届高三六校高考模拟考试文科数学试题本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则A．B．C．D．2．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第4题图3．已知等比数列中，公比，若，则的最值情况为A．有最小值B．有最大值C．有最小值D．有最大值4．由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的第5题图正(主)视图、侧(左)视图、俯视图相同，如右图所示，其中四边形是边长为的正方形，则该几何体的表面积为A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，输出的是A．B．C．D．6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题：“，”的否定：“，”；③用相关指数来刻画回归效果，若越大，则说明模型的拟合效果越好；④若，，，则．14\nA．①③B．①④C．②③D．③④7．把正奇数数列按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，第五个括号两个数，第六个括号三个数，…．依次划分为，，，，，，，…．则第个括号内各数之和为A．B．C．D．8．已知函数的定义域是，若对于任意的正数，函数都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是A．B．C．D．9．已知定点，,是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆10．设函数在区间上可导，若,总有，则称为区间上的函数．在下列四个函数，，，中，在区间上为函数的个数是A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．第11题图（一）必做题：11、12、13题为必做题．11．如图，菱形的边长为，，为的中点，则的值为．14\n12．设，满足约束条件，若目标函数（）的最大值为，则的值为．13．设，则当与两个函数图象有且只有一个公共点时，．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则上的动点与上的动点间的最短距离为．15．（几何证明选讲选做题）第15题图如图，四边形是边长为的正方形，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的圆交于点，连接并延长交于．则线段的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分13分）某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究.全年级共有名学生，男女生人数之比为，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为．（1）求抽取的男学生人数和女学生人数；14\n（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下列联表：否定肯定总计男生10女生30总计①完成列联表；②能否有的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有名男生被抽到，其中人持否定态度，人持肯定态度；二班有名女生被抽到，其中人持否定态度，人持肯定态度．现从这人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．解答时可参考下面临界值表：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87917．（本小题满分12分）设的三个内角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值．18．（本小题满分14分）在四棱锥中，，，面，为的中点，．（1）求证：；第18题图（2）求证：面；（3）求三棱锥的体积．14\n19．（本小题满分13分）已知数列的前项和为，若，，．（1）求数列的通项公式：（2）令，．①当为何正整数值时，；②若对一切正整数，总有，求的取值范围．20．（本小题满分14分）如图，点是椭圆（）的左焦点，点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的离心率为，点在轴上，且，过点作斜率为的直线与由三点,，确定的圆相交于，两点，满足．（1）若的面积为，求椭圆的方程；（2）直线的斜率是否为定值？证明你的结论.第20题图14\n21．（本小题满分14分）已知函数（，），．（1）求函数的单调区间,并确定其零点个数；（2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围；（3）证明不等式（）．2022年广东省六校高三年级第四次联考数学（文科）参考答案2022.5一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678910答案AACCDDCBBA二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．12．13．14．15．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分13分）某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究.全年级共有名学生，男女生人数之比为，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为．（1）求抽取的男学生人数和女学生人数；（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下列联表：否定肯定总计男生10女生30总计14\n①完成列联表；②能否有的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有名男生被抽到，其中人持否定态度，人持肯定态度；二班有名女生被抽到，其中人持否定态度，人持肯定态度．现从这人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．解答时可参考下面临界值表：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879解：（1）共抽取人，…………………………………………………………1分男生人，女生人，……………………………3分（2）①否定肯定总计男生451055女生302050总计7530105…………4分②假设:学生对体育课改上自习课的态度与性别无关因为,所以有的把握认为态度与性别有关.………………………………8分（3）记一班被抽到的男生为，持否定态度，持肯定态度；二班被抽到的女生为，持否定态度，持肯定态度.则所有抽取可能共有20种：,,，；，，，；，，，；，，，；，，，.………10分其中恰有一人持否定态度一人持肯定态度的有10种：，，，，，，，，，.……11分记“从这人中随机抽取一男一女，其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度”事件为,则.……………………………………………………12分14\n答：（1）抽取男生55人，女生50人；（2）有有的把握认为态度与性别有关；（3）恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率为.……………………………13分17．（本小题满分12分）设的三个内角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值．解：（1）由已知有，………………………………1分得，则，………………3分.………………………………………………………………4分又，故.……………………………………………………5分（2）（法一）由正弦定理得,,则.……………………………………………7分而.…9分则.又，所以.……………………………10分所以当且仅当，即时，取得最大值，11分故.…………………………………………………………12分（法二）由余弦定理得，即，…………7分14\n则，又则10分…………………10分得，故，当且仅当时，.……………………………………………12分18．（本小题满分14分）第18题图在四棱锥中，，，面，为的中点，．（1）求证：；（2）求证：面；（3）求三棱锥的体积．解：（1）证明取中点，连接.……1分在中，，，则,．而则在等腰三角形中.①………………2分又在中，,则∥……………………………………………………………………3分因面，面，则，又，即，则面，……………………4分，所以．②………………5分由①②知面．故．…………………………6分 （2）（法一）取中点，连接．则在中,∥.又面,面则∥面,…………………………………………………………………7分在中，所以为正三角形，则……………………………………………………………………8分14\n又则∥.又面,面则∥面,…………………………………………………………………9分而，所以面∥面.…………………………………………………………10分又面则∥面．………………………………………………………………11分(法二)延长交于，连接．…………………………………………7分在中，，，则为的中点…………………………………………………………………9分又所以∥……………………………………………………………………10分又面,面则∥面.…………………………………………………………………11分（3）由（1）（2）知,因面，∥则面，……………………………………………………………12分而………………………………………13分故………………14分19．（本小题满分13分）已知数列的前项和为，若，，．（1）求数列的通项公式：14\n（2）令，．①当为何正整数值时，；②若对一切正整数，总有，求的取值范围．解：（1）在中令，得又，则，所以.………………………………………1分当时，相减得……………………………………3分即，整理得………4分结合到，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，………………………5分则，即.…………………………………………6分（2）①(法一)…………………………………………7分则………………………………………………………8分由……………………………………………………………9分得，即取不小于的正整数.…………………………………10分（法二）把代入得所以.……………………………………………7分以下同法一.②由①知数列各项的大小情况为.11分则的各项中数值最大的项为，………12分因为对一切正整数，总有，则……………………13分20．（本小题满分14分）如图，点是椭圆（）的左焦点，点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的离心率为，点在轴上，且，过点作斜率为的直线与由三点,，确定的圆相交于，两点，满足．14\n第20题图（1）若的面积为，求椭圆的方程；（2）直线的斜率是否为定值？证明你的结论.解：（1）由已知可得，，…2分又，解得.…………3分所求椭圆方程为.…………4分（2）由得，则……5分因则(斜率显然存在且不为零）……………6分而设，则得，所以……………………………………………………7分则圆心的坐标为，半径为………………………………………8分据题意直线的方程可设为，即………………9分由得………………………10分即，得，而所以…………………………………………………………………11分在等腰三角形中由垂径定理可得点到直线的距离为.………………12分则…………………………………………………………………13分解得而故（定值）……………………………14分21．（本小题满分14分）已知函数（，），．（1）求函数的单调区间,并确定其零点个数；（2）若在其定义域内单调递增，求的取值范围；（3）证明不等式（）．解：（1）…………………………………………1分14\n则……………………………………………2分（i）若，则当时，；当时，所以为的增区间，为的减区间.………………3分极大值为所以只有一个零点.（ii）若，则当时，；当时，所以为的减区间，为的增区间.极小值为……………………………………4分所以只有一个零点.综上所述，当时，为的减区间，为的增区间，有且只有一个零点；当时，为的增区间，为的减区间，有且只有一个零点.……………………………………………………………………5分（2）……………………………………6分由在其定义域内单调递增，可知,恒成立.则恒成立.…………………………7分(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点)可得或………………………………………………………8分则或则或得.可以验证当时在其定义域内单调递增故.……………………………………………………………………9分(法二)分离变量14\n因（当且仅当，即时取到等号）…8分所以，则.可以验证当时在其定义域内单调递增故……………………………………………………………………9分（3）由（2）可知当时，在内单调递增，而所以当时，即……………………………………………………10分令，则…………………………………………………11分则所以，，……,,,以上个式子累加可得…………………………………12分则则…………………………13分则故（）．………………14分14
