广东实验中学2022—2022学年（上）高二级模块二考试理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。第一部分选择题（共60分）一、(每题5分，共60分)1．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱2．直线的倾斜角是( )A.B.C.D.3．若是平面外一点，则下列命题正确的是（）A.过只能作一条直线与平面相交B.过可作无数条直线与平面垂直C.过只能作一条直线与平面平行D.过可作无数条直线与平面平行4．点到直线的距离是()A．B．C．D．5．已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题①若，则②若③若④若其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．设直线，.若，则的值为（）A.2B.-1C.2或-1D.1或-29\n7．已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8．若变量满足，则的取值范围是( )A.B.C.D.aBCAP9．如图，定点A和B都在平面内，定点C是内异于A和B的动点，且那么，动点C在平面内的轨迹是()A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点10．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点( )A.(0，4)B.(0，2)C.(－2，4)D.(4，－2)11.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于（）A.B.C.D.12.如图，在体积为2的三棱锥A—BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE:EB=AF:FC=AG:GD=2:1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O—BCD的体积等于（）A．B．C．D．9\n第二部分非选择题（90分）二、填空题(每题5分，共20分)13．某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是14．过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为15．如图四棱柱中，面，四边形为梯形，，且过三点的平面记为，与的交点为，则以下四个结论：①②③直线与直线相交；④四棱柱被平面分成的上下两部分的体积相等.其中正确的有16．已知中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则周长的最小值.ABCDEF三、解答题（共6大题，共计70分）17.（本题10分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC面BCD．18．（本题12分）根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；（2）直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.19.（本题12分）如图，三棱锥中，平面分别为线段上的点，且9\n（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.第20题图20.（本题12分）如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．（1）若∥平面，求；（2）求直线和平面所成角的余弦值．21.（本题12分）已知函数的定义域为，且.设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.（1）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（2）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.22.（本题12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.当PB取得最小值时，请解答以下问题：（1）求四棱锥PBDEF的体积；（2）若点Q满足()，试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．9\n广东实验中学2022—2022学年（上）高二级模块二考试数学（理科）答案及评分标准一、选择题1～12DCDDDACABBBD二、填空题13.14.x－2y＋4＝015.①②16.三、解答题ABCDEF17.（本题10分）证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD．——2分∵EF∥AD，EF面ACD，AD面ACD，——3分∴直线EF∥面ACD．——4分（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD．——5分∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．——6分又EF∩CF=F，EF、CF面EFC——7分∴BD⊥面EFC．——8分∵BD面BCD，——9分∴面EFC⊥面BCD．——10分18.（本题12分）解：(1)若截距不为0，设直线的方程为＋＝1，——1分∵直线过点(－3，4)，∴＋＝1，解得a＝1.——2分此时直线方程为x＋y－1＝0.——3分若截距为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－3，4)，有4＝－3k，解得k＝－，——4分此时直线方程为4x＋3y＝0.——5分综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0.——6分(2)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.——8分当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.——9分由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.——10分9\n此时直线方程为3x－4y＋25＝0.——11分综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.——12分19．（本题12分）（1）证明：∵平面ABC,,∴,①——2分又∵,∴∴②——4分由①、②，,,∴平面——6分（2）过A作∥交CD于H，则平面，过H作HM,连接AM，则为二面角所成的平面角.——8分在中，,——9分∵∽,∴——10分∴——11分故二面角的余弦值为.——12分20.（本题12分）（1）取中点为，连结，——1分∵分别为中点∴∥∥，∴四点共面，——3分且平面平面又平面，且∥平面∴∥∵为的中点，∴是的中点，——5分∴．——6分9\n（2）连结，因为三棱柱为直三棱柱，∴平面∴，即四边形为矩形，且∵是的中点，∴，又平面，∴，从而平面，∴是在平面内的射影，∴与平面所成的角为∠——9分又∥，∴直线和平面所成的角即与平面所成的角——10分设，且三角形是等腰三角形，∴，则，∴∴直线和平面所成的角的余弦值为．——12分21.（本题12分）解：（1）∵，∴.——1分设点的坐标为，则有，，——2分由点到直线的距离公式可知：，——4分故有，即为定值，这个值为1.——5分（2）由题意可设，可知.9\n∵与直线垂直，∴，即，解得，又，∴.——8分∴，——10分∴,当且仅当时，等号成立.——11分∴此时四边形面积有最小值.——12分22.（本题12分）解：（1）∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF平面ABFED=,,∴,——1分不妨设，在中，，——3分当且仅当，即E为CD中点时，PB取得最小值.——4分——5分（2）令AC与BD的交点为M，∵，所以Q在线段AP上，——6分设OQ与平面PBD的交点为N，则N在线段PM上，过O作于H，则可证,——8分为直线OQ与平面PBD所成的角，——9分∵是等腰三角形，∴，——10分∴>或>（三角形外角大于内角）——11分即，所以直线OQ与平面PBD所成角一定大于.——12分9\n9
