试卷类型：A2022年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2022．3本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值.锥体的体积公式是,其中是锥体的底面积,是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，则复数i的虚部为A．B．C．D．【答案】D【解析】由复数的定义可知虚数单位的系数就是复数的虚部，因此选D。2．设全集，集合，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，则。143．直线与圆的位置关系是A．相离B．相切C．直线与圆相交且过圆心D．直线与圆相交但不过圆心【答案】A【解析】圆心到直线的距离是：因此，圆与直线的位置是相离。4．若函数是函数的反函数，则的值是A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的图象上有点，则点在函数的图象上，即。5．已知平面向量，，且，则实数的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】，又，得。6．已知变量满足约束条件则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】如图：要使取得最大值，只有直线经过点，因此的最大值是1。14x0y7.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A．B.C.D.【答案】A【解析】由三视图可知，这个几何体是水平放置的直三棱柱，且底面是直角三角形。则。8.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】D【解析】由，所以只需将向左平移个单位。9．“”是“一元二次不等式的解集为R”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】一元二次不等式的解集为R等价于：，即14，因此选B。10．设函数的定义域为，如果，使为常数成立，则称函数在上的均值为.给出下列四个函数：①；②；③；④,则满足在其定义域上均值为的函数的个数是A．B．C．D．【答案】C【解析】二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．函数的定义域是【答案】【解析】由题意可得：解得函数的定义域是。12．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：234562.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约万元（结果保留两位小数）．【答案】【解析】，，所以样本中心点是：，它在回归直线上，带入得，当时，。13．已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则，.【答案】，【解析】当时，任意不经过同一条直线的三个平面将空间分成了八部分，即14；当时，任意不经过同一条直线的四个平面将空间分成了十四部分，即；依次下去可得任意不经过同一条直线的个平面将空间分成了部分，且（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为．【答案】【解析】在直角坐标系中，的坐标是，点所在的直线的方程是，设的坐标是，则得解得的坐标是，它的极坐标是。15．（几何证明选讲选做题）如图2，是的直径，是的切线，与交于点，若，，则的长为．【答案】【解析】由切割弦定理，得，又因为，所以，则。三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.14（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求的值.【解析】（1）因为函数的最大值是2，所以；它的最小正周期是8，则。（2）∵，，∴.∴.∴.17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间上的果树株数是产量在区间上的果树株数的倍.（1）求,的值；（2）从样本中产量在区间上的果树随机抽取两株，求产量在区间上的果树至少有一株被抽中的概率.14【解析】（1）解:样本中产量在区间上的果树有（株），样本中产量在区间上的果树有（株），依题意，有，即.①根据频率分布直方图可知，②解①②得:.（2）解：样本中产量在区间上的果树有株，分别记为，产量在区间上的果树有株，分别记为.从这株果树中随机抽取两株共有15种情况：，，。其中产量在上的果树至少有一株共有9种情况：，.记“从样本中产量在区间上的果树随机抽取两株，产量在区间上的果树至少有一株被抽中”为事件，则.18．（本小题满分14分）如图4，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，平面，点为的中点.（1）求证:平面；（2）求证：；14（3）若，求点到平面的距离.【解析】(1)证明:连接，与相交于点,连接，∵是平行四边形，∴是的中点.∵为的中点，∴.∵平面,平面,∴平面.(2)证明:∵平面，面，∴.∵，，∴.∴.∴.∵，平面，面，∴平面.∵平面，∴.（3）解：取的中点，连接，则且.∵平面，，14∴平面，.在Rt△中，，，∵,,∴.在Rt△中，.在△中，，为的中点,∴.在Rt△中，.在Rt△中，.∴，.设点面的距离为，∵，∴.即，解得.∴点到平面的距离为.19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知，，，是数列的前项和.14（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）求满足的最大正整数的值.【解析】（1）解：∵当时，，∴.∴.∵，，∴.∴数列是以为首项，公比为的等比数列.∴.（2）解：由（1）得：，∴.（3）解：14.令，解得：.故满足条件的最大正整数的值为.20．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为,且与交于点.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在满足的点?若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.【解析】（1）设椭圆的方程为,依题意:解得:∴椭圆的方程为.（2）设点,，则，，∵三点共线,∴.∴,化简得：.①由,即得.14∴抛物线在点处的切线的方程为，即.②同理，抛物线在点处的切线的方程为.③设点，由②③得：，而，则.代入②得，则，代入①得，即点的轨迹方程为若，则点在椭圆上，而点在直线上，∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.∴满足条件的点有两个。21．（本小题满分14分）已知N，设函数R.（1）求函数R的单调区间；（2）是否存在整数，对于任意N，关于的方程在区间上有唯一实数解，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）解：∵∴.方程的判别式.当时，，，故函数在R上单调递减；14当时，方程的两个实根为，.则时，；时，；时，；故函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.（2）解：存在，对于任意N，关于的方程在区间上有唯一实数解，理由如下：当时，，令，解得，∴关于的方程有唯一实数解.当时，由，得.若，则，若，则,若且时，则,当时，,当时，,∴，故在上单调递减.∵，14.∴方程在上有唯一实数解.当时，；当时，.综上所述，对于任意N，关于的方程在区间上有唯一实数解.14
