蕉岭中学2022-2022学年度第一学期高二级第一次质检文科数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)1．已知集合，，则集合（）A．B．C．D．2．函数的周期为()A．B．C．D．3.在等差数列中，已知，是数列的前项和，则（ ）A．B．C．D．4.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为720的样本进行某项调查，则高二年级应抽取的学生数为（）A．180B．240C．480D．7205．直线与平行，则的值为()A．B．或C．0D．－2或06.已知：在⊿ABC中，，则此三角形为()正视图俯视图侧视图A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．-11-8.已知，则在下列区间中，有实数解的是（）．A．B．C．D．9.设等差数列的前n项和为，若＝－2，＝0，＝3，则＝（）A．3B．4C．5D．610．已知两点，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（）A．B．C．D．11．已知等差数列的前n项和为，且，在区间内任取一个实数作为数列的公差，则的最小值仅为的概率为()A．B．C．D．12．已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．开始是输入p结束输出否第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知_____________；12已知向量，，若，则实数的值等于；13.执行右边的程序框图，若，则输出的____；14.对于不同的直线m,n和不同的平面，给出下列命题：-11- ① n∥α② n∥m ③ m与n异面 ④ 其中正确的命题序号是_____．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分10分）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．18．（本小题满分12分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．（1）求角的大小；（2）设，，求和的值．19．（本小题满分12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：-11-（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．（1）证明：直线∥平面；（2）若的面积为，求四棱锥的体积。21．（本小题满分12分）已知过点且斜率为的直线与圆C：交于两点．（1）求的取值范围；（2）若，其中为坐标原点，求．-11-22．（本小题满分12分）已知的图象关于坐标原点对称。（1）求的值，并求出函数的零点；（2）若函数在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围；（3）设，已知的反函数=，若不等式在上恒成立，求满足条件的最小整数k的值。-11-蕉岭中学2022-2022学年度第一学期高二级第一次质检文科数学试题参考答案ACCAACDBCDDA②12.【解析】在内有且仅有两个不同的零点，就是函数的图象与函数的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数，和函数的图象，如图，当与和都相交时；当与有两个交点时，由，消元得，即，化简得，当，即时直线与相切，当直线过点时，，所以，综上，实数的取值范围是．17.【解析】(1)设的公差为，由题意得．由得．…………………………………………………………………………3分所以的通项公式为．………………………………………………………-11-5分(2)由(1)得．……………………………………………………8分所以当时，取得最小值，最小值为−16．…………………………………………10分18.【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，………………………………2分即，可得．………………………………………………4分又因为，可得．…………………………………………………………6分(2)在中，由余弦定理及，，，有，故．………………………………………………8分由，可得．因为，故．………………9分因此，………………………………11分所以，…………12分19.【解析】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，所以样本中分数小于70的频率为．………………………………………………2分-11-所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0．4．………………4分（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为．………………………………………………………6分所以总体中分数在区间内的人数估计为．………………………………8分（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，所以样本中分数不小于70的男生人数为．…………………………………………9分所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为．……………………………………………………………………………………11分所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为．………………………12分20.【解析】（1）在平面内，因为，所以∥，………………2分又平面，平面，故∥平面．……………………………………4分（2）取的中点，连结，．由及∥，得四边形正方形，则．…………………………………………6分-11-因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面=，所以，底面．因为底面，所以．………………8分设，则，，，．取的中点，连结，则，所以．…………………………………………………………10分因为的面积为，所以，解得（舍去），．于是，，．……………………………………………………………11分所以四棱锥的体积．………………………………12分21.【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l的方程为．…………………………………………2分因为l与C交于两点，所以．…………………………………………………………4分解得．所以的取值范围是-11-．…………………………5分（Ⅱ）设．…………………………………………………………………………6分将代入方程，整理得，…………7分所以，．……………………………………………………………8分，………………………………10分由题设可得，解得，所以l的方程为．…………………………11分故圆心在直线l上，所以．………………………………………………………………12分22.【解析】（2）…………………………………………5分由题设知h(x)=0在[0,1]内有解，-11-……………………………………………………6分…………………………………………7分在[0，1]内存在零点………………………………………………8分（3）…………………………………………………………9分显然……………………………………………………10分…………………………………………11分……………………………………………………12分-11-
