江苏省南通中学2022-2022学年高二上学期期末考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．计算：▲．2．函数f(x)＝的单调增区间是▲．3．已知复数z=(2－i)i，则z的模为▲．4．曲线在点处的切线方程为▲．5．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为▲．6．已知函数的导函数为，且满足，则▲．xOy（第9题）7．已知复数，则的取值范围是▲．8．若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围为▲．9．如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为▲．10．设P是函数y＝(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是▲．11．已知定义域为的函数对于任意的x都满足．若0<a<b，则bf(a)▲af(b)（请从“>”，“<”，“=”中选择正确的一个填写）．12．设直线y＝a分别与曲线y2＝x和y＝ex交于点M，N，则当线段MN取得最小值时实数a的值为▲．13．已知点，是函数的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段总是位于，两点之间函数图象的上方，因此有结论成立.运用类比思想方法可知若点，是函数的图象上的不同两点，则类似地有▲成立．11\n14．若不等式|ax3－lnx|≥1对任意x(0，1]都成立，则实数a的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请注意文理科类，并在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共14分）已知复数（）．（1）求实数为何值时，z为实数；（2）求实数为何值时，z为虚数；（3）求实数为何值时，z为纯虚数．16．（本小题共14分）已知曲线C：与直线相切，其中e为自然对数的底数．（1）求实数a的值；（2）求曲线C上的点P到直线的距离的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．17．（本小题共14分）某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)(注：收益＝销售额－投放)．（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．11\n18．（本小题共16分）（理）已知数列的前n项和．（1）计算数列的前4项；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．（文）求证：1，，3不可能是一个等差数列中的三项．19．（本小题共16分）已知函数，其中，．（1）当时，求的单调区间；（2）证明：对任意的，函数在区间内均存在零点．20.（本小题共16分）已知，函数，e为自然对数的底数．（1）若，求函数取得极值时所对应的x的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．11\n江苏省南通中学2022—2022学年度第一学期期末考试高二数学答题纸一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．二、解答题：（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）.15.（本题满分14分）16.（本题满分14分）11\n17.（本题满分14分）18.（本题满分16分）11\n19.（本题满分16分）20.（本题满分16分）11\n11\n江苏省南通中学2022—2022学年度第一学期期末考试高二数学答案9．10．11．<12．13．14．a≥二、解答题：15．解：（1）当z为实数时，则解得.所以，当时，z为实数．（2）当z为虚数时，则解得．所以，当且时，z为虚数．（3）当z为纯虚数时，则解得．所以，当时，z为纯虚数．16．解：（1）设曲线C：与直线相切的切点的横坐标为，由得切线的斜率=，所以，所以切点坐标为，代入直线得.（2）由（1）得曲线C的方程为：，当过点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，11\n设点P的横坐标为，由得切线的斜率=1，所以，所以所求点P的坐标为，所求距离的最小值为．17．解：(1)设投入t(t百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0＜t≤3)，所以当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，则有g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)所以g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，解得x＝2，或x＝－2(舍去)．又当0≤x＜2时，g′(x)＞0，当2＜x≤3时，g′(x)＜0．故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数．所以当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．18．（理）解：（1）由，得．由，得．由，得．由，得．（2）猜想．下面用数学归纳法证明：①时，左边，右边，猜想成立．②假设当时，猜想成立，即，此时．则当时，由，得，所以．因此，当时，等式也成立．由①②可知，对均成立．（文）证明：假设1，，3为同一等差数列中的三项，则存在两个不相等的整数，以及实数，使得，．11\n所以．因为上式左边为无理数，右边为有理数，所以等式不成立，所以假设不成立，即1，，3不可能是同一等差数列中的三项．19．（1）解：，令，解得或．因为，以下分两种情况讨论：①若，则，列表如下：+-+↗↘↗所以，的单调增区间是，单调减区间是．②若，则，列表如下：+-+↗↘↗所以，的单调增区间是，单调减区间是．（2）证明：由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，以下分两种情况讨论：①当即时，在内单调递减，，，所以对任意，在区间内均存在零点．②当即时，在上单调递减，在上单调递增，若，，．所以在上存在零点．若，，．11\n所以在上存在零点．所以，对任意，在区间内均存在零点．综上所述，对任意，在区间内均存在零点．说明：（2）中也可通过求导证明其恒小于0．20．解：（1）若，则，．当时，，单调递增；当时，，单调递减．又因为，，当时，；当时，；当时，；当时，．故取得极值时所对应的x值为1，和．（2）不等式，整理为．设，则（其中）．①当时，，，当时，，为单调增函数；当时，，为单调减函数．所以，．11
