新丰中学2022届高三第二次学情调研考试数学试题一．填空题（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卷上）1.若集合，B＝{，则=________.2.已知函数的最小正周期为，则＝_______3.函数的定义域是________．4.已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.5.在等差数列中，，则的前5项和为________．6.中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆的标准方程是________________．7.函数的最小值为________．8．函数的单调递减区间为________．9.已知直线与圆相切，则的值为________．10.若函数有且只有一个零点，则实数的值为__________.11.已知和是方程的两根，且，则=_____.12.设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是________．13.设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为.14.已知圆心角为120°的扇形的半径为1，为弧的中点，点分别在半径上．若，则的最大值是________．二．解答题（本大题共6小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（本小题满分14分）13\n如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：PA∥面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE；16.（本小题满分14分）已知向量设函数（I）求的最小正周期与单调递减区间；（II）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，若△ABC的面积为，求的值.17.（本小题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3<x<6，为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．13\n18.（本小题满分16分）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量的坐标；（2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.19.（本小题满分16分）数列满足，.(1)求，的值；(2)是否存在一个实数，使得，且数列为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由；(3)求数列的前项和.13\n20.（本小题满分16分）已知函数在处的切线方程为（1）若=，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；（2）若，是否存在实数，使得对于定义域内的任意都成立；（3）若方程有三个解，求实数的取值范围．13\n考场__________________座位号__________班级__________________姓名__________________学号__________________…………………………………………………….密……………………….封………………………..线……………………………………………………………....新丰中学2022届高三第二次学情调研考试数学试题答题卷一、填空题（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过题过程，请将答案直接写在答题卷上）1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二．解答题（本大题共6小题,满分90分．解答须写出文字说明、证明过明过程或演算步骤．）15.(本题满分14分）16.(本题满分14分）13\n—————————————————————————————————17.(本题满分14分）18.(本题满分16分）13\n—————————————————————————————————19.(本题满分16分）…………………………………………………….密……………………….封………………………..线……………………………………………………………....20.(本题满分16分）13\n新丰中学2022届高三第二次学情调研考试数学试题答案一．填空题1.2.3.[1，)4.35.106.＋＝17.8．(0,1]9.8或－1810.或11.12.613.1412.解析 设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝，点C到椭圆上的点Q(cosα，sinα)的距离CQ＝＝＝≤＝5，当且仅当sinα＝－时取等号，所以PQ≤CQ＋r＝5＋＝6，即P，Q两点间的最大距离是6.14.解析 在△COD中，由余弦定理得CD2＝1＋OD2－OD，同理在△EOC、△DOE中，由余弦定理分别得CE2＝1＋OE2－OE，DE2＝OE2＋OD2＋OD·OE，代入CD2＋CE2＋DE2＝整理得2(OD＋OE)2－(OE＋OD)－＝3OD·OE，由基本不等式得3OD·OE≤，所以2(OD＋OE)2－(OE＋OD)－≤，解得0≤OD＋OE≤，即OD＋OE的最大值是.二．解答题15.（本小题满分14分）连结OE，如图所示．∵O、E分别为AC、PC中点，∴OE∥PA．…………3分∵OE⊂面BDE，13\nPA⊄面BDE，∴PA∥面BDE．…………7分(2)∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．…………10分又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE．…………14分16.（本小题满分14分）解：（I）…………4分…………5分…………7分（II）由得…………10分13\n…………12分…………14分17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以…………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润.…………8分从而，，（3，4）4（4，6）+0-单调递增极大值42单调递减于是，当x变化时，的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以，当x=4时，函数取得最大值，且最大值等于42.…………13分答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.…………14分18.（本小题满分16分）解]（1）设得13\n所以v－3>0,得v=8,故={6，8}.………5分（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10,得圆心（3，－1），半径为.设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x,y）则故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.………10分（3）设P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线上关于直线OB对称两点，则故当时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.………16分19.（本小题满分16分）解 (1)由a3＝27，得27＝2a2＋23＋1，∴a2＝9，∵9＝2a1＋22＋1，∴a1＝2.………4分(2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列，则2bn＝bn－1＋bn＋1，(n≥2且n∈N*)∴2×(an＋t)＝(an－1＋t)＋(an＋1＋t)，∴4an＝4an－1＋an＋1＋t，∴4an＝4×＋2an＋2n＋1＋1＋t，∴t＝1.13\n即存在实数t＝1，使得{bn}为等差数列．………10分(3)由(1)，(2)得b1＝，b2＝，∴bn＝n＋，∴an＝·2n－1＝(2n＋1)2n－1－1，Sn＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n＋1)×2n－1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1－n，①∴2Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n－2n，②由①－②得－Sn＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n＋n＝1＋2×－(2n＋1)×2n＋n＝(1－2n)×2n＋n－1，∴Sn＝(2n－1)×2n－n＋1.………16分20.（本小题满分16分）解：（1）因为所以，………2分又设图像上任意一点因为,所以切线方程为……………………4分令得；再令得,故三角形面积,即三角形面积为定值.……………6分（2）由得，假设存在满足题意,则有化简,得对定义域内任意都成立,………8分13\n故只有解得所以存在实数使得对定义域内的任意都成立.…11分（3）由题意知,因为且化简,得……13分即………15分如图可知,所以即为的取值范围.……………………………16分13
