2022-2022学年度第一学期第二次阶段性反馈高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1、若(1−i)2+a为純虚数，则实数a的值为．2、为了抗震救灾，现要在学生人数比例为的、、三所高校中，用分层抽样方法抽取名志愿者，若在高校恰好抽出了6名志愿者，那么.3、如图是一个算法的伪代码，则输出i的值为ABCDEFP4、从这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是.5、已知集合，集合，则.6、中，若，，则．7、若函数f(x)=mx2+lnx−2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是8、已知分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线与椭圆的右准线交于点，若直线∥轴，则该椭圆的离心率=.9、已知函数为奇函数，则的减区间为．10、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为11、如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为．12、已知函数若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为．13、在平面直角坐标系xOy中，过点P（-5，a）作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且，则实数a的值为．14、设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=2022，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15、已知向量m＝，n＝.10(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．16、如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面．17、强度分别为的两个光源间的距离为．已知照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，比例系数为．线段上有一点，设，点处总照度为．试就时回答下列问题．（注：点处的总照度为受光源的照度之和）（1）试将表示成关于的函数，并写出其定义域；（2）问：为何值时，点处的总照度最小？1018、如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点．⑴求直线的方程；⑵求的值；⑶设为常数．过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，分别交圆于点，记和的面积分别为，，求的最大值．A1A2OPQMNBCxy19、已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.（1）求证：（）；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。1020、已知函数.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，）.2022-2022学年度第一学期第二次阶段性反馈试卷Ⅱ(附加题)16．1.已知矩阵的一个特征值是3，求直线在作用下的直线方程.2.已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．求C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π．3．已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动.（1）求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手的人数，求X的概率分布和数学期望.104.已知展开式的各项依次记为设函数（1）若的系数依次成等差数列，求正整数的值；（2）求证：恒有10参考答案一、填空题：1、0 2、30 3、5 4、5/9 5、{0,1} 6、16/657、[1/2,+∞) 8、 9、 10、11、 12、(-5,0)13、3或－２ 14、92二、解答题：15、（１） （２）16、（１）略 （２）17、18、（１）（２）（３）19.解：（1）证明：∵（）①10∴（）②由②①得（），∴（）.……4分（2）解：方法1，∵（）……③∴（），……④④—③，得（）…6分从而数列的奇数项依次成等差数列，且首项为，公差为4；数列的偶数项也依次成等差数列，且首项为，公差为4.在①中令得，又∵，∴在③中令得，∴………7分∴当（）时，，；8分∴当（）时，，；…9分综上所述，（）.……10分方法2，由③式知，（），……7分记（），则（），在①中令得，又∵，∴从而，∴（）即（）.……10分（3）解：令（），则且………12分（或…12分）∴，∴单调递减，∴.…13分∴不等式对一切正整数n都成立等价于对一切正整数n都成立等价于，即14分∴，即，解之得综上所述，存在实数适合题意，的取值范围是………16分20.解：（1）因为，所以，则所求切线的斜率为，……2分又，故所求切线的方程为................4分（2）因为，则由题意知方程在上有两个不同的根.10由，得，……6分令，则，由，解得.yxO1111当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值为.……8分又，（图象如右图所示），所以，解得.…10分（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.即对恒成立.令，则，……12分令，则，因为在上单调递增，，，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增，则取到最小值，14分所以，即在区间内单调递增.所以，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为.……16分数学Ⅱ(附加题)1.【解析】∵矩阵的一个特征值是3，设10则解得∴.设直线上任一点在作用下对应的点为则有整理得，则，代入，整理得.∴所求直线方程为.2.解：将消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4，所以C1的普通方程为：x2+y2﹣4x=0．由ρcos（θ+）=2，即为（ρcosθ﹣ρsinθ）=2，则曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．由，解得或，所以C1与C2交点的极坐标分别为（4，0）或（2，）．3．（（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为种．3分（2）的可能取值为．…………5分，，，．…………8分的概率分布为：．………10分4.（1）由题意知∵的系数依次为10∴解得（2）=令令设则考虑到将以上两式相加得∴又当时，恒成立，从而是上的单调增函数，∴10
