盐城市龙冈中学2022/2022学年度第二学期高一年级期中考试数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应的横线上．）1．函数的最小正周期为.2．一直线倾斜角的正切值为，且过点，则直线方程为_____________.3．函数y=2cos2x+sin2x的最小值.4．正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_________.5．已知直线，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数的取值范围是.6．已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为5,则此三棱柱的体积为______.7．已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：①若垂直于内的两条相交直线，则⊥；②若//，则平行于内的所有直线；③若，且⊥，则⊥；④若⊥，，则⊥。其中正确命题的序号是.8．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积为时，AC＝.9．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________.10．△中，∠，⊥平面，则右图中直角三角形的个数为．11．在中，分别为内角的对边，若，北乙甲且，则角B=.12．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，则乙船每小时航行海里.13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝b2＋bc，sinC＝2sinB，则A＝________.7\n14．在棱长为4的正方体中，、分别为棱、上的动点，点为正方形的中心.则空间四边形在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为.二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本大题14分）已知直线过点A（－2，3）（1）直线的倾斜角为，求直线的方程；（2）直线在两坐标轴上的截距之和为2，求直线的方程.16．（本大题14分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O。求证：（1）直线OE∥平面PBC；（2）平面ACE⊥平面PBD.17．（本大题15分）已知函数f(x)＝2cos.7\n（1）设x∈，且f(x)＝＋1，求x的值；（2）在△ABC中，内角的对边的边长为，AB＝1，f(C)＝＋1，且△ABC的面积为，求的值．18．（本大题15分）已知中，内角的对边的边长为，且（1）求角的大小；（2）若求的取值范围．19．（本大题16分）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD//EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．7\n（1）求的值和的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．20．（本大题16分）在△ABC中，,D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图1）.将△ABD沿着AD折起到△AD的位置，连结C（如图2）.（1）若平面AD⊥平面ADC，求三棱锥-ADC的体积；（2）记线段C的中点为H,平面ED与平面HFD的交线为,求证:HF∥；（3）求直线AD与E的所成角.（图1）（图2）2022.4盐城市龙冈中学2022/2022学年度第二学期高一年级期中考试数学试题参考答案一、填空题1．2．3．1-4．5．6．457．①④8．7\n9．10．411．12．3013．14．12二、解答题15．解：（1）的方程为y=-(x+2)+3，即y=-x+1………………………6分（2）设线方程为：y=kx+b因为过点A(-2,3)所以3=-2k+b当y=0，x=-当x=0，y=b-+b=2解方程组解得=-1，b=1=,b=6所以直线方程为:y=x+1或3x-2y+12=0………………………14分16．证：（1）在正方形ABCD中，AC与BD的交点O为BD的中点。又因为E为PD的中点，所以OE∥PB。因为OE平面PBC，平面PBC，所以OE∥平面PBC。………………………7分（2）因为PD⊥底面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC。在正方形ABCD中，AC⊥BD。又因为BD平面PBD，PD平面PBD，且，所以AC⊥平面PBD。又因为AC平面ACE，所以平面ACE⊥平面PBD。………………………14分17．解：(1)f(x)＝2cos2－2sincos＝(1＋cosx)－sinx＝2cos＋.由2cos＋＝＋1,得cos＝.7\n于是x＋＝2kπ±(k∈Z)，因为x∈，所以x＝.………………………7分(2)因为C∈(0，π)，由(1)知C＝.因为△ABC的面积为，所以＝absin，于是ab＝2，①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b，由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7，②由①②可得或于是a＋b＝2＋.…………………15分18．解：（1）由正弦定理可得：即，因为，所以，，。………………………7分（2）由（1）知，则则所以的取值范围为………………………15分19．解：（1）由条件，得，．……………………………………………2分∵，∴．………………………………………………4分∴曲线段FBC的解析式为．当x=0时，．又CD=，∴．……7分（2）由（1），可知．又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故．7\n设，，“矩形草坪”的面积为=．∵，故取得最大值．………………16分20．7
