江西省吉安一中2022-2022学年上学期高二年级第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1.下列命题中正确的是（）A.两两相交的三条直线共面B.两条相交直线上的三个点可以确定一个平面C.梯形是平面图形D.一条直线和一个点可以确定一个平面2.已知直线互相垂直，则实数等于（）A.-3或1B.1或3C.-1或-3D.-1或33.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的（）A.2倍B.倍C.倍D.倍4.点M（）在圆外，则直线与圆的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定5.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（）A.B.C.D.6.设是两个单位向量，其夹角为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若直线被圆所截得的弦长为6，则-10-的最小值为（）A.B.C.D.8.已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.9.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（）A.B.C.D.10.如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上。当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（）A.B.C.D.11.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G-10-3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：（1）SG⊥平面EFG；（2）SD⊥平面EFG；（3）GF⊥平面SEF；（4）EF⊥平面GSD；（5）GD⊥平面SEF.正确的是（）A.（1）和（3）B.（2）和（5）C.（1）和（4）D.（2）和（4）12.已知的三边长分别为，，，是边上的点，是平面外一点，给出下列四个命题：①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；②若平面，且是边的中点，则有；③若，平面，则面积的最小值为；④若，平面,则三棱锥的外接球体积为。其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置。)13.若直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值等于_________。14.若圆与轴交于两点，且，则实数的值为__________。15.已知单位向量两两的夹角均为，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系O-xyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作。有下列命题：①已知，则·=0；②已知其中xyz≠0，则当且仅当x=y时，向量，的夹角取得最小值；③已知-10-④已知则三棱锥O—ABC的表面积。其中真命题有_________（写出所有真命题的序号）。16.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,.则异面直线与所成角的余弦值为_____。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知命题和命题,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围。18.（本小题满分12分）如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。（Ⅰ）求出该几何体的体积；（Ⅱ）试问在边上是否存在点N，使平面？若存在，确定点N的位置(不需证明)；若不存在，请说明理由。19.（本小题满分12分）在正三棱锥中，、分别为棱、的中点，且。（1）求证：直线平面；-10-（2）求证：平面平面。20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，平行于轴且过点(3，2)的入射光线被直线反射.反射光线交轴于点，圆过点且与都相切。（1）求所在直线的方程和圆的方程；（2）设分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.21.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°。（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）设（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值.22.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于点（点在轴的负半轴上），点为圆上一动点，分别交直线于两点。-10-（1）求两点纵坐标的乘积；（2）若点的坐标为，连接交圆于另一点.①试判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由；②记的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.-10-参考答案一、选择题（12×5=60分）1－6CACBBA7－12CCDBCC二、填空题（4×5=20分）13.14.-315.②③16.三、解答题（5×12＋10=70分）17.对于命题，解得：；对于命题，解得：。由是的必要不充分条件，所以且所以.解得，即：所以实数的取值范围是18.（Ⅰ）∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB,又AB⊥AC,∴AB⊥平面ACDE∴四棱锥B-ACDE的高h=AB=2，梯形ACDE的面积S=6，∴，即所求几何体的体积为4。（Ⅱ）在边CD上存在点N，使MN⊥平面BDE。理由如下：以A为原点，CA,ABAE分别为xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），D（－2，0，4），E（0，0，2），M（-1，1，2），，,，,-10-假设在DC边上存在点N满足题意，,则，，，即：，解之得∴边DC上存在点N，满足时，平面。19.证明：（1）分别为棱的中点，平面，平面直线平面。（2）取棱的中点为，连接三棱锥是正三棱锥，，，平面平面，由（1）知，，，平面平面。20.（1）直线：y＝2,设交于点，则，∵的倾斜角为30°,∴的倾斜角为，∴∴反射光线所在直线的方程为即已知圆与相切于点，设∵圆心在过点D且与垂直的直线上，∴①又圆心在过点且与垂直的直线上，∴②-10-由①②得，圆的半径故所求圆的方程为（2）设点关于的对称点，则，且得,固定点可发现，当共线时，最小，故最小值为，由解得，∴最小值为。21.（Ⅰ）证明：因为平面,平面，所以。在中，，由余弦定理得：，所以，故,所以,又，∴平面。（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，。所以,所以，∴,则，。设平面的一个法向量为，则，得，-10-令，则，∴,∵平面，是平面的一个法向量，∴.两边平方并化简得，所以或（舍去）。22.（1）由题意，得，，设，直线的方程为，令，则，，同理，。（2）①，由（1）知，，，即，点在圆内。②设，，当直线的斜率不存在时，，，此时，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆方程，整理得，，，又，。-10-
