吉安一中2022—2022学年度下学期第二次段考高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一项是符合题目要求的）1．已知复数满足，则复数为（）A．B．C．D．2．已知曲线的极坐标方程为，将其化为直角坐标是（）A．B．C．D．3．参数方程（为参数）化为普通方程是（）A．B．C．D．4．已知随机变量，且，则（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.45．已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数是（）A．33B．34C．35D．366．设函数是偶函数，则=（）A．B．C．D．7．某种种子每粒发芽的概率是，现播种该种子1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望与方差分别是（）A．10090B．100180C．200180D．2003608．下列命题：①设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为；②关于的不等式对任意的恒成立，则x的取值范围是，③变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则；④下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据4根据上表提供的数据，得出ｙ关于ｘ的线性回归方程为，则=－0.35；以上命题正确的个数是（）A．0B．1C．2D．39．已知函数（，实数，为常数）．且（），若函数在上的最小值为0，则=（）A． B．C．D．10．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为（）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案写在答题卷上）11．若，则满足的实数x的取值范围为________．12．直线被圆所截得的弦长为________．13．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，5都不与3相邻的六位偶数的个数是________．14．已知，则二项式的展开式中二项式系数最大项为________．15．有下列命题：①若函数；②若函数在存在导函数，则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“有极值”的充要条件．其中真命题的序号是________．4三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）16．（满分12分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月产量如表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．17．（满分12分）如果展开式中的第五项与第三项的二项式系数之比为，（1）求n的值；（2）求展开式中常数项的值；（3）求展开式中各项的系数和｡18．（满分12分）已知函数满足．（1）求常数的值；（2）解关于的不等式．CDAB19．（满分12分）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．（1）求点P恰好返回到A点的概率；（2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．420．（满分13分）已知函数为奇函数，且在处取极大值2．（1）求函数的解析式；（2）记，求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，当时，若函数的图像都在直线的下方，求的取值范围．21．（满分14分）已知函数=，．（1）求函数在区间上的值域；（2）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由．4吉安一中2022-2022学年度下学期第二次段考高二数学参考答案（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1～5BDDBA6～10CDCAA二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．x≤－2或x≥212．13．10814．15．①③三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程）16．（满分12分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月产量如表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．解：(1)设该厂本月生产轿车为辆，由题意得，，………3分所以z=2000－100－300－150－450－600=4……………………………………6分(2)设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以，解得m=2，也即抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车…………8分所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为…………12分17．（满分12分）如果展开式中的第五项与第三项的二项式系数之比为．（1）求n的值；（2）求展开式中常数项的值；（3）求展开式中各项的系数和．解：（1）第三项系数为，第五项系数为……………………………………………2分由第五项与第三项系数之比为，得，解得…………………4分（2）令第项为常数项，则……5分令，解得…………………………………………………………6分故所求的常数项为………………………………………………8分（3）令得各项数和为…………………………………12分18．（满分12分）已知函数满足．（1）求常数的值；（2）解不等式．解：（1）因为，所以………………………………………………………3分由，即，………………………………6分（2）由（1）得…………………………………7分由得，当时，，解得………………………9分当时，，解得………………………………11分所以不等式的解集为：…………12分CDAB19．（满分12分）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．（1）求点P恰好返回到A点的概率；（2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．解：（1）投掷一次正方体玩具，因每个数字在上底面出现是等可能，故其概率P1＝＝…1分易知只投掷一次不可能返回到A点……………………………………………………2分①若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：(1，3)、(3，1)、(2，2)三种结果，其概率为P2＝()2×3＝……………3分②若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：(1，1，2)、(1，2，1)、(2，1，1)三种结果，其概率为P3＝()3×3＝…4分③若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1，1，1，1)，其概率为P4＝…………………………………………………………………5分所以，质点P恰好返回到A点的概率为：…………………6分（2）由(1)知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且ξ的可能取值为2，3，4………………………………………………………………7分则P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝(算对每个概率得1分)…10分所以，Eξ＝2×＋3×＋4×＝………………………………………………12分20．（满分13分）已知函数为奇函数，且在处取极大值2．（1）求函数的解析式；（2）记，求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，当时，若函数的图像的直线的下方，求的取值范围．解：（1）由f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）为奇函数，∴f（－x）=－f（x），解得，b=0…1分∴f'（x）=3ax2+c，且f（x）在x=1取得极大值2．∴解得…………………………………3分∴f（x）=－x3＋3x…………………………………………………………………………4分（2）由（1）得：g（x）=﹣x2+3+（k+1）lnx∴……………………………………5分因为函数定义域为（0，+∞），所以①当k=﹣1时，g'（x）=﹣2x＜0，函数在（0，+∞）上单调递减……………………6分②当k＜﹣1时，k+1＜0，∵x＞0，∴．可得函数在（0，+∞）上单调递减…………7分③当k＞﹣1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得，∵x＞0，∴﹣2x2+（k+1）＞0，得，又x＞0，得；令g'（x）＜0，得，同上得2x2＞（k+1），解得，∴k＞﹣1时，单调递增区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）……8分综上：当k≤﹣1时，函数的递减区间为（0，+∞），无递增区间当k＞﹣1时，函数的递增区间为（0，），递减区间为（，+∞）……9分（3）当k=2时，g（x）=﹣x2+3+3lnx，令h（x）=g（x）－（x+m）=－x2－x＋3lnx＋3－m（x>0）…………………10分令h'（x）=0，即，解得x=1，（舍）…11分由函数y=h（x）定义域为（0，+∞），则当0＜x＜1时，h'（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0，∴当x=1时，函数h（x）取得最大值1﹣m．…………………………………………12分依题有1﹣m＜0，解得m＞1故m的取值范围是（1，+∞）…………………………………………………………13分21．（满分14分）已知函数=，．（1）求函数在区间上的值域；（2）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由．解：（1）∵，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，∴的值域为……4分（2）令，则由（1）可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数……5分∵，其中①当时，，在区间上单调递减，不合题意………………6分②当时，，在区间上单调递增，不合题意…………………7分③当，即时，在区间上单调递减；在区间上单递增，由上可得，此时必有且………………………9分而由可得，则，综上，满足条件的不存在．…………………………………………………………10分（3）设函数具备性质“”，即在点处的切线斜率等于，不妨设，则………………11分而在点处的切线斜率为，故有…12分即，令，则左式化为…13分令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以函数不具备性质“”……………………………………………………………14分
