2022届江西师大附中、九江一中第一次联考数学（理）试题本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）1.设，则()A．B．C．D．2．正项等比数列中，是方程的两根，则的值是A．2B．3C．4D．53.函数满足，则的值为（）A.B.C.D.4．曲线在点处的切线为．若直线与，轴的交点分别为，，则（其中为坐标原点）的面积为（）A．B．C．2D．5．设命题甲：关于的不等式有解，命题乙：设函数在区间上恒为正值，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知三点不在同一条直线上，是平面内一定点，是内的一动点，若，则直线一定过的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心7．已知函数（）的导函数为，若存在使得成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．13\n8．由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则为（）A．B．C．D．9．已知实数变量满足且目标函数的最大值为8，则实数的值为()A.B.C.2D.110.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2D．11．已知椭圆和双曲线焦点相同，且离心率互为倒数，它们的公共焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.12．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为．14.DABC中，||cosÐACB=||cosÐCAB=，且·=0，则AB长为．15.正实数满足，则的最小值为．16.四棱锥底面是一个棱长为2的菱形，且ÐDAB=60º，各侧面和底面所成角均为60º，则此棱锥内切球体积为．13\n三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项等比数列满足成等差数列,且.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设,求数列的前项和.18.某校在2015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组,...第六组,得到如右图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为，求的分布列和期望19.如图,已知四边形和均为直角梯形，∥，∥，且，平面⊥平面,（Ⅰ）证明：AG平面BDE;（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.20.如图，已知椭圆的离心率为13\n，其左、右顶点分别为.过点的直线与该椭圆相交于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与的斜率分别为.试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21.已知函数(其中,且为常数)（Ⅰ）若对于任意的,都有成立,求的取值范围;（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,若方程在上有且只有一个实根,求的取值范围.ABCDEO请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点是曲线上的动点，点在曲线上，且满足.（Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线、分别交于、两点，求.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为,.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）比较与的大小.13\n评分参考1.B2.A3.C4.C5.B6.A7.C8.B9.D10.D11.A12.B13.14.15.916.解析:11.A在椭圆中，在双曲线中所以，即，则所以，由题知，则椭圆离心率12.B令，∴函数为奇函数，∵时，，函数在为减函数，又由题可知，，所以函数在上为减函数，所以则，.即17.已知正项等比数列满足成等差数列,且.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设,求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）设正项等比数列的公比为由,因为,所以.又因为成等差数列,所以所以数列的通项公式为.（Ⅱ）(方法一)依题意得,则……………………13\n由-得所以数列的前项和(方法二)因为,所以18.某校在2015年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组,...第六组,得到如右图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）试估计该校数学的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为，求的分布列和期望【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，得:成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；…………………2分所以估计该校全体学生的数学平均成绩为85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以该校的数学平均成绩为107；…………………4分（Ⅱ）根据频率分布直方图得，这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，而在的学生共有…………………5分所以的可能取值为0、1、2、3，…………………6分所以P（=0）===，P（=1）===，P（=2）===，P（=3）===；…………………10分所以X的分布列为13\n数学期望值为=0×+1×+2×+3×=1.2．…………………12分13\n19.如图,已知四边形和均为直角梯形，∥，∥，且，平面⊥平面,（Ⅰ）证明：AG平面BDE;（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【解析】由平面，平面,平面BCEG,.………2分根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得………….3分（Ⅰ）设平面BDE的法向量为，则即，，平面BDE的一个法向量为………………………………………………..5分，，，∴AG∥平面BDE.……………………………………………….7分（Ⅱ）设平面的法向量为，平面和平面所成锐二面角为……….8分因为,,由得，……….10分平面的一个法向量为，.故平面和平面所成锐二面角的余弦值为……….12分20.如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为.过点的直线与该椭圆相交于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与的斜率分别为.试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．13\n【解析】（Ⅰ）依题意可知.所以椭圆的方程为:…………………4分（Ⅱ）(方法一)设直线的方程为,直线的方程为.………………5分联立方程组…………………7分解得点的坐标为同理,可解得点的坐标为………9分由三点共线,得化简有.……………11分已知同号,所以.故存在,使得成立.…………………12分(方法二)当直线垂直于轴时,点的坐标分别为所以此时直线与的斜率分别为有.…………………6分由此猜想:存在满足条件.下面证明猜想正确.当直线不垂直于轴时,设直线的方程为,又设.联立方程组…………………8分13\n……11分由此可得猜想正确.故存在,使得成立.…………………12分21.已知函数(其中,且为常数)（Ⅰ）若对于任意的,都有成立,求的取值范围;（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下若方程在上有且只有一个实根,求的取值范围.【解析】（Ⅰ）由知…………………………1分当时,对于恒成立,在上单调递增,此时命题成立;……………………………3分当时,在上单调递减,在上单调递增,当时,有.这与题设矛盾,不合.故的取值范围是……………………………5分（Ⅱ）依题意,设,原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.显然函数与的单调性是一致的.当时,因为函数在区间上递减,上递增,所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或,解得或;……………………………7分当时,因为函数在上单调递增,且,所以此时在上有且只有一个零点;……………………………9分13\n当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又因为,所以当时,总有,,所以在上必有零点,又因为在上单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点.……………………………11分综上所述,当或或时,方程在上有且只有一个实根.……………………………12分请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．ABCDEO（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．【证明】：（Ⅰ）连接OE，因为D为的中点，E为BC的中点，所以OED三点共线．……………………………2分因为E为BC的中点且O为AC的中点，所以OE∥AB，故DE∥AB.……………………………5分（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，又∠BAD＝∠DCBÞ∠DAC＝∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CEÞ△DAC∽△ECD．……………8分Þ＝ÞAD·CD＝AC·CEÞ2AD·CD＝AC·2CEÞ2AD·CD＝AC·BC．……………………………10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程13\n在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点是曲线上的动点，点在曲线上，且满足.（Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线、分别交于、两点，求.【解析】：（1）设……………………………2分点在曲线上，，……………………………4分曲线的普通方程为；……………………………5分（2）曲线的极坐标方程为将代入得，的极坐标为，……………………………7分曲线的极坐标方程为将代入得，的极坐标为，……………………………9分.……………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为,.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）比较与的大小.【解析】：（I)记，由解得：，即……………………………3分所以，;……………………………5分13\n（II）由（I）得：，，……………………………6分因为……………………………8分，故，即……………………………10分13
