2022-2022-1学期高三年级期中考试试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U是实数集R，集合M＝{x|x<0或x>2}，N＝{x|y=log2(x－1)}，则(∁UM)∩N为( )A．{x|1<x<2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|1≤x<2}2．下列结论中正确的是( )A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x≠1”B．命题p：存在x0∈R，sinx0>1，则Øp：任意x∈R，sinx≤1C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．“x2＋2x－3<0”是命题．3.条件p：－2<x<4，条件q：(x＋2)(x＋a)<0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是( )A．(4，＋∞)B．(－∞，－4)C．(－∞，－4]D．[4，＋∞)4．已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))等于( )A．－3B．3C．－2D．25．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( )A．B.－C．±D.6.设函数f(x)=sin(x+)，则下列结论错误的是( )A．f(x)的一个周期为−4πB．y=f(x)的图像关于直线对称x=C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递增7．设f(x)＝x3＋bx＋c，若导函数f′(x)>0在[－1，1]上恒成立，且f(-)·f()<0，则方程f(x)＝0在[－1，1]内根的情况是( )-11-\nA．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根8.将函数y=sin(2x+)图象上各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于直线对称，则m的最小值为( )A．B．C．D．9.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(w>0,|j|<)，y＝f(x)的部分图象如图，则f()＝( )A．B.C.2＋D．2－（第9题）（第10题）10.函数f(x)＝的图象如图所示，则m的取值范围为( )A．(－∞，－1)B．(1,2)C．(0,2)D．(－1,2)11．定义运算＝ad－bc，若cosα＝，，0<β<α<，则β=( )A.B.C.D.12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x)，若f′(x)<f(x)，且f(x＋1)＝f(3－x)，f(2015)＝2，则不等式f(x)<2ex-1的解集为( )A．(1，＋∞)B．(e，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若曲线y＝e-x上点P处的切线平行于直线3x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．14．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则＝________.15.已知函数f(x)=xcosx，现给出如下命题：①当xÎ(-4,-3)时，f(x)>0；②f(x)在区间(5,6)上单调递增；③f(x)在区间上有极大值；④存在M-11-\n>0，使得对任意xÎR，都有|f(x)|≤M．其中真命题的序号是.16．若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知函数f(x)=.（I）求函数f(x)的单调递减区间；（II）若△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，f(A)=，a=，sinB=2sinC，求c.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°,∠PBC=90°.（I）平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由；（II）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的余弦值．19.（本小题满分12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．(I)求图中a的值；(II)根据已知条件完成下面2´2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？(III)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取3人进行约谈，记这3人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)．晋级成功晋级失败合计男16-11-\n女50合计参考公式：，其中-11-\n20.（本小题满分12分）已知椭圆离心率为，点P(0,1)在短轴CD上，且.（I）求椭圆E的方程；（II）过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.若，求直线l的方程.21．（本小题满分12分）已知函数.（I）讨论的导函数的零点个数；（II）当时，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．(I)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（II）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．23.（本小题满分10分）已知函数f(x)＝|x－1|.(I)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；(II)若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞.-11-\n2022-2022-1学期年级期中考试参考答案高三数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBBDADCCABDA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．(－ln3,3)14.－4.15.①②16． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（12分）【解析】：（Ⅰ）…………………2分由，，得，…………………5分∴函数的单调递减区间为，…………………6分（II）∵，，∴…………………8分∵，∴由正弦定理，得…………………10分又由余弦定理，，得.解得…………………12分18.（12分）【解析】（I）平面平面；………………1分证明：由题意得且又，则…………………………3分则平面,………………5分故平面平面………………6分（Ⅱ）以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如右图示，则,,-11-\n可得,………………………7分设平面PCD的法向量为,则，令x=2得，……………………………………9分又平面ABCD的一个法向量为，……………………………………10分EF设平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小为θ，显然为锐角θ，∴cosθ==.……………………………………12分方法二：过点P作BA的垂线交BA的延长线于点F,过点F作EF⊥AB,交CD的延长线于点D.则∠PEF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.…………………8分∵PA=1,∠PAB=120°,∴PF=,又EF=AD=PA=1，∴PE=,…………………10分∴∠PEF=.…………………12分19.（12分）【解析】Ⅰ由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，解得；…………………2分Ⅱ由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数为人，填表如下：晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100……………4分假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，……………6分所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；……………7分-11-\nⅢ由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为，所以X可视为服从二项分布，即，…………8分，故，，，，所以X的分布列为X0123…………11分数学期望为，或 ………12分20.（12分）【解析】（1）由题意，e=，得a=又C(0,b)，D(0,-b).∴=(b-1)(-b-1)=-1，∴b2=2∴a=2,所以椭圆E的方程为.¼¼¼¼¼¼4分（2）当直线l的斜率不存在时，，，，不符合题意，不存在这样的直线.¼¼¼¼¼¼6分当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1.A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,-11-\n由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，¼¼¼¼¼¼8分由得，(x2,y2-1)=(-x1,1-y1),∴x2=-x1,∴x1=，x12=，解得k2=，∴k=，所以直线l的方程为y=x+1.¼¼¼¼¼¼12分21．（12分）【解析】(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞)，.……2分若，由，没有零点；.……3分若或，由，，，有一个零点；.……4分若，由，，没有零点．.……5分综上所述，当或时有一个零点；当时没有零点．.……6分(Ⅱ)由（1）知，，时当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减..……7分所以在取得最大值，最大值，.……8分即.所以等价于，即，其中．.……10分设，则.-11-\n当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减.故当时取得最大值，最大值为.……11分所以当时，.从而当时，即．.……12分22.（10分）【解析】(Ⅰ)把代入ρsin2θ＝2acosθ，得y2＝2ax(a>0)，…………2分由(t为参数)，消去t得x－y－2＝0，……………4分∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.……5分(II)将(t为参数)代入y2＝2ax，整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.……………7分设t1，t2是该方程的两根，则t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，……………8分∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，∴a＝1.……………10分23.（10分）【解析】(Ⅰ)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|＝当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；……………1分当－3≤x＜时，－x＋4≥8无解；……………2分当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.……………3分所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为.……………5分-11-\n(II)证明：＞等价于f(ab)＞|a|，即|ab－1|＞|a－b|.……………7分因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|.故所证不等式成立．……………10分-11-
