江西省九江第一中学2022-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“a=12”是“ln（2a-1）＞0”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.双曲线x23−y26=1的渐近线方程为（ ）A.y=±2xB.y=±12xC.y=±2xD.y=±22x3.在等差数列{an}中，a3=5则{an}的前5项和S5=（ ）A.7B.15C.25D.204.△ABC中，若asinA=bcosB=ccosC，则△ABC中最长的边是（ ）A.aB.bC.cD.b或c5.下列命题中正确的是（ ）A.若a>b，则ac>bcB.若a>b，c>d，则a−c>b−dC.若ab>0，a>b，则1a<1bD.若a>b，c>d，则ac>bd6.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点M（2，m）满足|MF|=6，则抛物线C的方程为（ ）A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=16x7.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象（ ）可得g(x)=sin(2x+π4)的图象A.向右平移π12个长度单位B.向左平移π24个长度单位C.向左平移π12个长度单位D.向右平移π24个长度单位8.椭圆x216+y24=1上的点到直线x+2y−2=0的最大距离是（ ）A.3B.11C.22D.109.两个公比均不为1的等比数列{an}，{bn}，其分前n项的乘积分别为An，Bn，若a5b5=2，则A9B9=（ ）13/13\nA.512B.32C.8D.21.已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则|PA+PB+PC|的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.92.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（ ）A.[33,1]B.[63,1]C.[63,223]D.[223,1]3.已知圆O1：（x-2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（ ）A.3+224B.32C.2D.38二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）4.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=2π3，则边c的长是______5.已知正数x，y满足x+y=1，则1x+4y的最小值是______．6.若实数x，y满足|x|−y+1≤0y≤2，则z=x+yx−2的最小值为______7.若方程x2−1=2x+m有实数解，则实数m的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）8.直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2+22ty=1+22t（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6cosθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|的值．9.已知命题p：（a-2）（6-a）＞0；命题q：函数f（x）=（4-a）x在R上是增函数；若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，求实数a的取值范围．13/13\n1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足sinA−sinCb=sinA−sinBa+c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若cosA=17，求cos（2A-C）的值．2.已知数列{an}满足：a1=3，且对任意的n∈N+，都有1，an，an+1成等差数列．（1）证明数列{an-1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PB=AB=2，点N为AB的中点．（1）证明：AB⊥PC（2）若点M为线段PD的中点，平面PAB⊥平面ABCD，求二面角M-NC-P的余弦值．13/13\n1.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2且离心率为22，Q、A、B为椭圆C上三个点，△QF1F2的周长为4（2+1），线段AB的垂直平分线经过点P（-1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段AB长度的最大值．13/13\n答案和解析1.【答案】D【解析】解：由“ln（2a-1）＞0”得2a-1＞1得a＞1，则“a=”是“ln（2a-1）＞0”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．2.【答案】C【解析】解：双曲线的a=，b=，可得渐近线方程为y=±x，即y=±x．故选：C．由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵在等差数列{an}中，a3=5，∴S5==5a3=25．故选：C．利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用．4.【答案】A【解析】解：由，可得，，∴B=C=45°，那么A=90°．大边对应大角，可得：a最大；故选：A．根据正弦定理求解即可．13/13\n本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：A．c＜0时不成立；B．a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，因此不正确；C．ab＞0，a＞b，则，正确．D．取a=2，b=-3，c=3，d=-3，满足条件a＞b，c＞d，但是不成立．故选：C．利用不等式的性质即可判断出结论．本题主要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0），在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是6，∴抛物线准线方程是x=-，由抛物线的定义可得2+=6，解得p=8，∴抛物线的方程是y2=16x．故选：D．求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义推导出2+=6，解得p，由此能求出抛物线的方程．本题考查抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的合理运用．7.【答案】D【解析】解：由图象得A=1，=-=，即T=π，由T==π，则ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），∵f（）=sin（2×+φ）=-1，∴sin（+φ）=-1，即+φ=+2kπ，得φ=-+2kπ=+2kπ，∵，13/13\n∴当k=0时，φ=，则f（x）=sin（2x+），=sin（2x-++]=sin[2（x-）+]，即将函数f（x）的图象向右平移个长度单位可得的图象，故选：D．根据三角函数的图象确定函数的解析式，进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象的变换，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．8.【答案】D【解析】解：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=；故选：D．设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．9.【答案】A【解析】解：因为A9=a1a2a3…a9=a59，B9=b1b2b3…b9=b59，所以则=（）9=512，故选：A．由等差数列的性质即可求出本题考查了等差数列的性质和灵活应用，是常考的题型，注意总结．10.【答案】B【解析】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（-1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．另解：设B（cosα，sinα），|2+|=|2（-2，0）+（cosα-2，sinα）|=|（cosα-6，sinα）|==，当cosα=-1时，B为（-1，0），取得最大值7．故选：B．由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（-1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．13/13\n11.【答案】B【解析】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin（π-2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4-r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12-r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．分别求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．本题考查了两圆相切的性质、椭圆的离心率，属于难题．13.【答案】219【解析】解：∵a=4，b=6，C=，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC=42+62-2×4×6×cos=2．故答案为：2．13/13\n由已知利用余弦定理即可计算得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14.【答案】9【解析】解：∵正数x，y满足x+y=1，则+=（+）（x+y）=1+4++≥5+2=9，当且仅当x=，y=时取等号，故则+的最小值是9，故答案为：9．有题意可得+=（+）（x+y）=1+4++，再利用基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于基础题．15.【答案】-3【解析】解：实数x，y满足，的可行域如图：z==1+，几何意义是可行域内的点与P（2，-2）连线的斜率，由图形可知PB的斜率最小，由，解得B（1，2），z=的最小值为：-3．故答案为：-3．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．16.【答案】（-∞，-3]∪[2，+∞）【解析】解：方程=2x+m可化为m=-2x；作函数m=-2x的图象如下，结合选项可得，实数m的取值范围是（-∞，-]∪[2，+∞）；故答案为：（-∞，-]∪[2，+∞）；方程=2x+m可化为13/13\nm=-2x；作函数图象求解．本题考查了数形结合的思想应用及方程与函数的图象的关系应用，属于中档题．17.【答案】解：（1）圆C的方程为ρ=6cosθ，转换为直角坐标方程为：x2+y2=6x，转换为标准方程为（x-3）2+y2=9．（2）把直线l的参数方程为x=2+22ty=1+22t（t为参数），代入圆的方程x2+y2=6x，得到：t2-7=0，所以：t1+t2=0，t1•t2=-7，所以：|AB|=(t1+t2)2−4t1t2=27．【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：p真时，（a-2）（6-a）＞0，解得2＜a＜6．q真时，4-a＞1，解得a＜3．由命题“p或q”为真，“p且q”为假，可知命题p，q中一真一假，当p真，q假时，得3≤a＜6，当p假，q真时，得a≤2．因此实数a的取值范围是（-∞，2]∪[3，6）．【解析】分别求出命题p、q为真时，a的范围，再根据命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，可得p真q假，或p假q真，从而建立不等式，即可求出实数a的取值范围．本题考查复合命题真假的判定，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是根据命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，可得p真q假，或p假q真，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）因为sinA−sinCb=sinA−sinBa+c，在△ABC中，由正弦定理得：a−cb=a−ba+c，即：a2-c2=ab-b2，由余弦定理得：cosC=a2+b2−c22ab=12．又∵角C是三角形ABC的内角，∴C=π3；（II）由cosA=17及sin2A+cos2A=1 得sinA=1−cos2A=1−(17)2=437．13/13\ncos2A=2cos2A-1=-4749，∴sin2A=2sinAcosA=2×437×17=8349，∴cos（2A-C）=cos（2A-π3）=cos2Acosπ3+sin2Asinπ3=-4749×12+8349×32=-2398．【解析】（Ⅰ）利用正弦定理得到a2-c2=ab-b2，再结合余弦定理和特殊角的三角函数求得C的值；（Ⅱ）由同角三角函数关系，二倍角公式进行转化并求值．本题考查的知识点是正弦定理，两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．20.【答案】解：（1）证明：由1，an，an+1成等差数列，可知1+an+1=2an，即an+1=2an-1，所以an+1-1=2（an-1），且a1-1=2，则{an-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an-1=2n，则an=2n+1，n∈N*；（2）由（1）可得前n项和Sn=（2+1）+（22+1）+…+（2n+1）=（2+4+…+2n）+n=2(1−2n)1−2+n=2n+1+n-2．【解析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式，即可得到所求通项公式；（2）运用数列的分组求和和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的并项求和，化简运算能力，属于中档题．21.【答案】证明：（1）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABC为菱形，∠ABC=60°，PA=PB=AB=2，点N为AB的中点．∴PN⊥AB，CN⊥AB，∵PN∩CN=N，∴AB⊥平面PNC，∵PC⊂平面PNC，∴AB⊥PC．解：（2）∵点M为线段PD的中点，平面PAB⊥平面ABCD，又PN⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴PN⊥平面ABCD，以N为原点，NB为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，3），D（-2，2，0），M（-1，22，32），N（0，0，0），C（0，3，0），13/13\nNM（-1，22，32），NC=（0，3，0），NP=（0，0，3），设平面MNC的法向量n=（x，y，z），则n⋅NM=−x+22y+32z=0n⋅NC=3y=0，取x=3，得n=（32，0，1），平面NCP的法向量m=（1，0，0），设二面角M-NC-P的平面角为θ，则cosθ=|m⋅n||m|⋅|n|=321×74=217．∴二面角M-NC-P的余弦值为217．【解析】（1）推导出PN⊥AB，CN⊥AB，从而AB⊥平面PNC，由此能证明AB⊥PC．（2）以N为原点，NB为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-NC-P的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得：ca=22，2a+2c=4（2+1），b2=a2-c2，解得c=2=b，a=22．∴椭圆C的方程为x28+y24=1．（2）AB⊥x轴时，满足题意，可得|AB|≤2b=4．由题意可得：AB的斜率不为0，设线段AB的中点为：（x0，y0），直线AB的方程为：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立x2+2y2=8y=kx+t，化为：（1+2k2）x2+4ktx+2t2-8=0．△=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-8）＞0．化为：4+8k2＞t2．x1+x2=−4kt1+2k2=2x0，解得x0=−2kt1+2k2．y0=kx0+t=t1+2k2．k⋅y0x0+1=-1，化为：t=1+2k2k．代入△＞0，解得k4＞14．又x1•x2=2t2−81+2k2，|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=(1+k2)[16k2t2(1+2k2)2−4(2t2−8)1+2k2]=(1+k2)×8(4+8k2−t2)(1+2k2)2=22(1+k2)(2k2−1)k2(1+2k2)=221−12k4+k2＜22＜4．综上可得：|AB|的最长为4．【解析】（1）由题意可得：=，2a+2c=4（+1），b2=a2-c2，联立解得．（2）AB⊥x轴时，满足题意，可得|AB|≤2b=4．由题意可得：AB的斜率不为0，13/13\n设线段AB的中点为：（x0，y0），直线AB的方程为：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2+4ktx+2t2-8=0．△＞0．化为：4+8k2＞t2．根据根与系数的关系、中点坐标公式可得：|AB|，进而得出．本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、分类讨论方法、中点坐标公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13/13
